Considere a função e encontre .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar a derivada parcial mista . Isso envolve derivar primeiro em relação a e depois em relação a . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função é . Aqui, temos um produto de com , então vamos aplicar a regra do produto:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada parte separadamente. A derivada de em relação a é 1:
E a derivada de em relação a é:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão de :
Podemos fatorar :

Passo 5

Agora que temos , vamos derivar isso em relação a para encontrar :
Aqui, é uma constante em relação a , então podemos focar na derivada de em relação a .

Passo 6

A derivada de em relação a é:

Passo 7

Multiplicando pela constante :

Resposta

A derivada parcial mista é:

Exercícios relacionados

Considere a função .
$(b) $ Desenhe a curva que a função descreve em , isto é, a imagem de .
Desenhe as seguintes curvas:
$(k) sent com .
Encontre as derivadas parciais de segunda ordem da função .