Nos exercícios 15-20, monte a integral iterada para calcular
sobre a região
dada.
é o cilindro circular reto cuja base é a circunferência
e cujo topo está no plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para montar uma integral tripla na forma
. O que isso significa? A gente vai calcular o volume de uma região
usando coordenadas cilíndricas. Pra resolver isso, precisamos entender bem a forma da região
e como ela está descrita. No caso,
é um cilindro circular reto com a base definida pela circunferência
e o topo no plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a base do cilindro. A equação
está em coordenadas polares e descreve uma circunferência. Para visualizar isso, lembramos que em coordenadas polares,
é a distância do ponto ao origem e
é o ângulo em relação ao eixo positivo x.
A equação
representa uma circunferência com raio
e centro no ponto
em coordenadas cartesianas. Isso porque a forma geral
representa uma circunferência de raio
deslocada no eixo x.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração para
e
. Observando a circunferência
, vemos que ela só faz sentido para
, ou seja, quando
. Fora desse intervalo,
seria negativo, o que não faz sentido em coordenadas cilíndricas.
Para cada
nesse intervalo,
varia de
até
. Então, os limites para
são de
a
.
Passo 4
Agora, vamos ver os limites para
. A base do cilindro está no plano
(assumindo que o cilindro está “deitado” sobre a base xy), e o topo está definido pelo plano
.
Como estamos em coordenadas cilíndricas, sabemos que
. Então, o plano superior fica
.
Portanto, para cada ponto
na base,
varia de
até
.
Passo 5
Com todos os limites definidos, podemos montar a integral iterada. Lembrando que na integral tripla em coordenadas cilíndricas, temos o fator
que vem do jacobiano da transformação.
Então, a integral iterada fica:
Resposta
A integral iterada para calcular
sobre a região
é: