Nos exercícios 15-20, monte a integral iterada para calcular integral triplaD f(r, theta, z) d z r d r d theta sobre a região D dada.
D é o cilindro circular reto cuja base é a circunferência r=3 cos theta e cujo topo está no plano z=5-x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para montar uma integral tripla na forma integral triplaD f(r, theta, z) , dz , r , dr , dtheta. O que isso significa? A gente vai calcular o volume de uma região D usando coordenadas cilíndricas. Pra resolver isso, precisamos entender bem a forma da região D e como ela está descrita. No caso, D é um cilindro circular reto com a base definida pela circunferência r = 3 cos theta e o topo no plano z = 5 - x.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a base do cilindro. A equação r = 3 cos theta está em coordenadas polares e descreve uma circunferência. Para visualizar isso, lembramos que em coordenadas polares, r é a distância do ponto ao origem e theta é o ângulo em relação ao eixo positivo x.
A equação r = 3 cos theta representa uma circunferência com raio 1.5 e centro no ponto (1.5, 0) em coordenadas cartesianas. Isso porque a forma geral r = a cos theta representa uma circunferência de raio a/2 deslocada no eixo x.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para theta e r. Observando a circunferência r = 3 cos theta, vemos que ela só faz sentido para cos theta >= 0, ou seja, quando -pi2 <= theta <= pi2. Fora desse intervalo, r seria negativo, o que não faz sentido em coordenadas cilíndricas.
Para cada theta nesse intervalo, r varia de 0 até 3 cos theta. Então, os limites para r são de 0 a 3 cos theta.

Passo 4

Agora, vamos ver os limites para z. A base do cilindro está no plano z = 0 (assumindo que o cilindro está “deitado” sobre a base xy), e o topo está definido pelo plano z = 5 - x.
Como estamos em coordenadas cilíndricas, sabemos que x = r cos theta. Então, o plano superior fica z = 5 - r cos theta.
Portanto, para cada ponto (r, theta) na base, z varia de 0 até 5 - r cos theta.

Passo 5

Com todos os limites definidos, podemos montar a integral iterada. Lembrando que na integral tripla em coordenadas cilíndricas, temos o fator r que vem do jacobiano da transformação.
Então, a integral iterada fica:
integraltheta = -pi2^pi2 integralr = 0^3 cos theta integralz = 0^5 - r cos theta f(r, theta, z) , dz , r , dr , dtheta

Resposta

A integral iterada para calcular integral triplaD f(r, theta, z) , dz , r , dr , dtheta sobre a região D é:
integral-pi2^pi2 integral0^3 cos theta integral0^5 - r cos theta f(r, theta, z) , dz , r , dr , dtheta

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