Considere a função f(x, y) = 2*x^2 + y^2. (Note que é um paraboloide elíptico)
(a) Determine o domínio da função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . A pergunta é: qual é o domínio dessa função? Isso significa descobrir quais valores de e a gente pode colocar nessa função sem ter problemas, tipo divisão por zero ou raiz de número negativo. Para resolver isso, a gente precisa entender o que é domínio e como identificar possíveis restrições nas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o domínio de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores das variáveis onde a função está definida. No nosso caso, a função tem duas variáveis: e .

Passo 3

Vamos analisar a expressão da função: . Aqui, temos duas partes:
  1. : Isso é simplesmente o número 2 multiplicado pelo quadrado de . O quadrado de qualquer número real é sempre positivo ou zero, então não tem problema aqui.
  2. : Assim como com , o quadrado de também é sempre positivo ou zero.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se há alguma restrição que possa impedir a função de ser definida. As restrições comuns vêm de operações como:
  • Divisão por zero: Não temos nenhuma divisão na nossa função, então não precisamos nos preocupar com isso.
  • Raíz de número negativo: Não estamos tirando raiz de nenhum termo, então também não há problema aqui.
  • Logaritmos de números não-positivos: Não estamos usando logaritmos, então mais uma vez, tudo bem.

Passo 5

Como não há nenhuma operação que imponha restrições, isso significa que podemos escolher qualquer valor real para e . Ou seja, e podem ser quaisquer números reais sem causar problemas na função.

Resposta

Então, o domínio da função é:
í
Isso significa que e podem ser quaisquer números reais.

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