Sejam
dois reais dados. Prove que
Conclua que para todo
,
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Temos dois números reais
e
onde
. A gente precisa provar que:
E depois, usar isso para concluir que para todo
,
Pra resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio e algumas propriedades da função arco-tangente (
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Valor Médio. Ele diz que se uma função
é contínua no intervalo
e diferenciável no intervalo
, então existe pelo menos um ponto
em
tal que:
No nosso caso, a função que vamos usar é
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. A derivada de
é:
Essa derivada é sempre positiva e menor que 1 para todo
, porque
, então
.
Passo 4
Aplicando o Teorema do Valor Médio na função
no intervalo
, temos que existe um ponto
entre
e
tal que:
Como vimos que
, podemos substituir na equação:
Então, provamos que:
Passo 5
Agora, pra concluir que para todo
,
basta considerar o caso específico onde
e
. Substituindo na inequação que provamos:
Sabemos que
, então:
Resposta
Demonstramos que para
,
. E consequentemente, para todo
, temos que
.
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Derivando a fórmula do ângulo duplo para a função cosseno,
obtenha a fórmula do ângulo duplo para a função seno.
Calcule
:
(d)
(d)
Calcule
:
(a)
(a)