Sejam dois reais dados. Prove que
Conclua que para todo ,

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Temos dois números reais e onde . A gente precisa provar que:
E depois, usar isso para concluir que para todo ,
Pra resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio e algumas propriedades da função arco-tangente ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Valor Médio. Ele diz que se uma função é contínua no intervalo e diferenciável no intervalo , então existe pelo menos um ponto em tal que:
No nosso caso, a função que vamos usar é .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . A derivada de é:
Essa derivada é sempre positiva e menor que 1 para todo , porque , então .

Passo 4

Aplicando o Teorema do Valor Médio na função no intervalo , temos que existe um ponto entre e tal que:
Como vimos que , podemos substituir na equação:
Então, provamos que:

Passo 5

Agora, pra concluir que para todo ,
basta considerar o caso específico onde e . Substituindo na inequação que provamos:
Sabemos que , então:

Resposta

Demonstramos que para , . E consequentemente, para todo , temos que .

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obtenha a fórmula do ângulo duplo para a função seno.
Calcule :
(d)
Calcule :
(a)