Suponha que os coeficientes do polinômio cúbico P(x) = a + b*x + c*x^2 + d*x^3 satisfaçam a equação
a + b/2 + c/3 + d/4 = 0
Mostre que a equação P(x)=0 tem uma raiz entre 0 e 1 . Você consegue generalizar esse resultado para um polinônio de grau n?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um polinômio cúbico onde os coeficientes satisfazem a equação . Nosso objetivo é mostrar que a equação tem pelo menos uma raiz entre 0 e 1. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que é super útil para funções contínuas como os polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio. Isso significa que não tem nenhum “buraco” ou “salto” no gráfico de . A continuidade é essencial para aplicar o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 3

Agora, vamos calcular :
Então, .

Passo 4

Em seguida, vamos calcular :
Então, .

Passo 5

Sabemos que a integral de de 0 a 1 é igual a:
E, pelo enunciado, essa integral é igual a zero:

Passo 6

Então, a média de no intervalo [0,1] é zero. Isso sugere que a função deve cruzar o eixo x nesse intervalo para equilibrar as áreas positivas e negativas.

Passo 7

Aplicando o Teorema do Valor Intermediário: Se é contínuo em [0,1] e e têm sinais opostos (ou seja, um é positivo e o outro é negativo), então existe pelo menos um ponto em (0,1) onde .

Passo 8

Mesmo que a gente não saiba os sinais exatos de e , sabemos que a integral ser zero implica que há áreas positivas e negativas igualmente balanceadas, garantindo que deve cruzar o eixo x pelo menos uma vez no intervalo.

Passo 9

Para generalizar isso para um polinômio de grau , o raciocínio segue igual: se a integral de de 0 a 1 for zero e for contínuo, então pelo menos uma raiz deve existir nesse intervalo, independente do grau do polinômio.

Resposta

Portanto, a equação tem pelo menos uma raiz entre 0 e 1. Esse resultado pode ser generalizado para qualquer polinômio de grau , desde que sua integral no intervalo [0,1] seja zero e a função seja contínua, garantindo assim a existência de pelo menos uma raiz nesse intervalo.

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