Suponha que os coeficientes do polinômio cúbico
satisfaçam a equação
Mostre que a equação
tem uma raiz entre 0 e 1 . Você consegue generalizar esse resultado para um polinônio de grau
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um polinômio cúbico
onde os coeficientes satisfazem a equação
. Nosso objetivo é mostrar que a equação
tem pelo menos uma raiz entre 0 e 1. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que é super útil para funções contínuas como os polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio. Isso significa que não tem nenhum “buraco” ou “salto” no gráfico de
. A continuidade é essencial para aplicar o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 3
Agora, vamos calcular
:
Então,
.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular
:
Então,
.
Passo 5
Sabemos que a integral de
de 0 a 1 é igual a:
E, pelo enunciado, essa integral é igual a zero:
Passo 6
Então, a média de
no intervalo [0,1] é zero. Isso sugere que a função deve cruzar o eixo x nesse intervalo para equilibrar as áreas positivas e negativas.
Passo 7
Aplicando o Teorema do Valor Intermediário: Se
é contínuo em [0,1] e
e
têm sinais opostos (ou seja, um é positivo e o outro é negativo), então existe pelo menos um ponto
em (0,1) onde
.
Passo 8
Mesmo que a gente não saiba os sinais exatos de
e
, sabemos que a integral ser zero implica que há áreas positivas e negativas igualmente balanceadas, garantindo que
deve cruzar o eixo x pelo menos uma vez no intervalo.
Passo 9
Para generalizar isso para um polinômio de grau
, o raciocínio segue igual: se a integral de
de 0 a 1 for zero e
for contínuo, então pelo menos uma raiz deve existir nesse intervalo, independente do grau do polinômio.
Resposta
Portanto, a equação
tem pelo menos uma raiz entre 0 e 1. Esse resultado pode ser generalizado para qualquer polinômio de grau
, desde que sua integral no intervalo [0,1] seja zero e a função seja contínua, garantindo assim a existência de pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Exercícios relacionados
Dada a função
a) (Valor 1.0) Encontre O domínio, , da fànção
,
a) (Valor 1.0) Encontre O domínio,
Um crânio encontrado num local de escavações arqueológicas tem um décimo da quantidade de carbono-14 que possuía originalmente. Determine a idade aproximada do crânio.
Considere a funçăo
a)(Valor 1.0) Sabendo que
existe, encontre esse limite.
Seja
a sequência de funções definidas por
Mostre que para todo
,
é um polinômio de grau
, cujos coeficientes estão em
.