Considere a função
Sabe-se que o ponto
é um poto de sela. Determine, caso exista, os demais pontos críticos e classifiqueos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e já sabemos que o ponto
é um ponto de sela. Nosso objetivo é encontrar outros pontos críticos dessa função, se existirem, e classificá-los. Para isso, vamos precisar usar cálculo parcial e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 3
Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 4
Com esses valores de
e
, vamos formar os pares ordenados que representam os pontos críticos:
-
— que já sabemos ser um ponto de sela. -
-
-
Passo 5
Agora, vamos classificar cada um desses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas:
O determinante do Hessiano é dado por:
Passo 6
Vamos calcular
e analisar os pontos:
-
Ponto
: Comoe , esse ponto é um ponto de máximo local. -
Ponto
: Aqui,e , indicando um ponto de mínimo local. -
Ponto
: Como, esse ponto é um ponto de sela.
Resposta
Além do ponto
que já sabemos ser um ponto de sela, os demais pontos críticos da função são:
-
: ponto de máximo local. -
: ponto de mínimo local. -
: ponto de sela.
Exercícios relacionados
(a) Encontre
da função
Sejam
e
. (b) Calcule
no ponto
.
Questão 3 - Calcule os seguintes limites, se existirem:
b)
b)
Questão 3 - Calcule os seguintes limites, se existirem:
c)
c)