Considere a função
Sabe-se que o ponto é um poto de sela. Determine, caso exista, os demais pontos críticos e classifiqueos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e já sabemos que o ponto é um ponto de sela. Nosso objetivo é encontrar outros pontos críticos dessa função, se existirem, e classificá-los. Para isso, vamos precisar usar cálculo parcial e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 3

Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 4

Com esses valores de e , vamos formar os pares ordenados que representam os pontos críticos:
  1. — que já sabemos ser um ponto de sela.

Passo 5

Agora, vamos classificar cada um desses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas:
O determinante do Hessiano é dado por:

Passo 6

Vamos calcular e analisar os pontos:
  1. Ponto :
    Como e , esse ponto é um ponto de máximo local.
  2. Ponto :
    Aqui, e , indicando um ponto de mínimo local.
  3. Ponto :
    Como , esse ponto é um ponto de sela.

Resposta

Além do ponto que já sabemos ser um ponto de sela, os demais pontos críticos da função são:
  • : ponto de máximo local.
  • : ponto de mínimo local.
  • : ponto de sela.

Exercícios relacionados

(a) Encontre da função
Sejam e . (b) Calcule no ponto .
Questão 3 - Calcule os seguintes limites, se existirem:
b)
Questão 3 - Calcule os seguintes limites, se existirem:
c)