(a) Encontre partial^2 fpartial x partial y da função
f(x, y, z)=ln (x y)-2 x-3 y+z^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a segunda derivada parcial mista da função . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo diferencial, especificamente ao cálculo de derivadas parciais de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas e aplicar as regras de derivação parcial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de f(x, y, z) = ln(xy) - 2x - 3y + z^2 em relação a partialpartial y ln(xy) = 1xy cdot x = 1y , ou seja, partial fpartial y = 1y - 3 .
A função é:
Derivando cada termo em relação a :
  • Derivada de em relação a : Usamos a regra da cadeia.
  • Derivada de em relação a : Como é constante em relação a , a derivada é 0.
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a : Como é constante em relação a , a derivada é 0.
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial mista, que é a derivada de partial fpartial y = 1y - 3 em relação a partial^2 fpartial x partial y = 0 , ou seja, .
Observando a expressão que encontramos:
Derivando isso em relação a :
  • Derivada de em relação a : Como não depende de , a derivada é 0.
  • Derivada de em relação a : A derivada de uma constante é 0.
Portanto:

Resposta

A segunda derivada parcial mista partial^2 fpartial x partial y = 0 da função dada é igual a 0.

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