Questão 3 - Calcule os seguintes limites, se existirem:
c) lim x 1 raizx+1-raiz2x-1=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 1 raizx+1-raiz2x-1. Esse exercício está na área de Cálculo, especificamente lidando com limites envolvendo funções radicais. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para eliminar a indeterminação que aparece quando substituímos x = 1 diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos x = 1 na expressão. Temos:
raiz1+1-raiz21-1 = raiz2-raiz20 = 00
Isso é uma forma indeterminada, então precisamos de uma estratégia para simplificar. Uma técnica comum é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador.

Passo 3

O conjugado de raizx+1-raiz2 é raizx+1+raiz2. Vamos multiplicar tanto o numerador quanto o denominador por esse conjugado:
raizx+1-raiz2x-1 times raizx+1+raiz2raizx+1+raiz2 = (raizx+1)^2 - (raiz2)^2(x-1)(raizx+1+raiz2)

Passo 4

Simplificando o numerador usando a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2:
(x+1) - 2(x-1)(raizx+1+raiz2) = x -1(x-1)(raizx+1+raiz2)

Passo 5

Agora, podemos cancelar o termo (x - 1) no numerador e no denominador:
1raizx+1+raiz2
Agora, a expressão está simplificada e não temos mais a indeterminação.

Passo 6

Finalmente, substituímos x = 1 na expressão simplificada:
1raiz1+1+raiz2 = 1raiz2+raiz2 = 12raiz2
Podemos racionalizar o denominador, se desejar:
12raiz2 times raiz2raiz2 = raiz24

Resposta

O limite é raiz24.

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