Considere a função
no quadrado unitário .
Encontre os valores máximo e mínimo de em cada diagonal do quadrado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é sobre a função definida dentro do quadrado unitário, ou seja, onde e . A parte (b) do exercício pede para encontrar os valores máximo e mínimo dessa função em cada uma das diagonais do quadrado. Para resolver isso, vamos precisar entender como otimizar funções de duas variáveis quando restritas a certas condições, nesse caso, as diagonais do quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais são as diagonais do quadrado unitário. Em um quadrado, temos duas diagonais principais:
  1. Diagonal de a : Nessa diagonal, os pontos satisfazem a condição .
  2. Diagonal de a : Nessa diagonal, os pontos satisfazem a condição .

Passo 3

Vamos começar pela primeira diagonal, onde .
Substituindo na função :
Agora, temos a função unidimensional no intervalo . Para encontrar os extremos, vamos derivar essa função em relação a e igualar a zero:
Igualando a derivada a zero:
Agora, avaliamos a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo:
  • Em :
  • Em :
Então, na primeira diagonal :
  • Valor mínimo: 0 em
  • Valor máximo: 3 em

Passo 4

Agora, vamos para a segunda diagonal, onde .
Substituindo na função :
Vamos simplificar essa expressão:
Agora, temos a função unidimensional no intervalo . Vamos derivar essa função em relação a e igualar a zero para encontrar os extremos:
Igualando a derivada a zero:
No entanto, está fora do intervalo , então precisamos avaliar a função nas extremidades do intervalo:
  • Em :
  • Em :
Então, na segunda diagonal :
  • Valor mínimo: -3 em
  • Valor máximo: 4 em

Resposta

  • Diagonal :
    • Valor mínimo: 0 em
    • Valor máximo: 3 em
  • Diagonal :
    • Valor mínimo: -3 em
    • Valor máximo: 4 em

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no quadrado unitário .
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