Considere a função
no quadrado unitário
.
Encontre os valores máximo e mínimo de
em cada diagonal do quadrado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos é sobre a função
definida dentro do quadrado unitário, ou seja, onde
e
. A parte (b) do exercício pede para encontrar os valores máximo e mínimo dessa função em cada uma das diagonais do quadrado. Para resolver isso, vamos precisar entender como otimizar funções de duas variáveis quando restritas a certas condições, nesse caso, as diagonais do quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais são as diagonais do quadrado unitário. Em um quadrado, temos duas diagonais principais:
- Diagonal de
a : Nessa diagonal, os pontos satisfazem a condição . - Diagonal de
a : Nessa diagonal, os pontos satisfazem a condição .
Passo 3
Vamos começar pela primeira diagonal, onde
.
Substituindo
na função
:
Agora, temos a função unidimensional
no intervalo
. Para encontrar os extremos, vamos derivar essa função em relação a
e igualar a zero:
Igualando a derivada a zero:
Agora, avaliamos a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo:
- Em
: - Em
:
Então, na primeira diagonal
:
- Valor mínimo: 0 em
- Valor máximo: 3 em
Passo 4
Agora, vamos para a segunda diagonal, onde
.
Substituindo
na função
:
Vamos simplificar essa expressão:
Agora, temos a função unidimensional
no intervalo
. Vamos derivar essa função em relação a
e igualar a zero para encontrar os extremos:
Igualando a derivada a zero:
No entanto,
está fora do intervalo
, então precisamos avaliar a função nas extremidades do intervalo:
- Em
: - Em
:
Então, na segunda diagonal
:
- Valor mínimo: -3 em
- Valor máximo: 4 em
Resposta
-
Diagonal
: - Valor mínimo: 0 em
- Valor máximo: 3 em
- Valor mínimo: 0 em
-
Diagonal
: - Valor mínimo: -3 em
- Valor máximo: 4 em
- Valor mínimo: -3 em
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.
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e
.
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.
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