Encontre os extremos absolutos da função dada no conjunto fechado e limitado indicado.
é a região circular .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos os extremos absolutos da função dentro de uma região circular definida por , onde é diferente de 4. Isso está dentro do conteúdo de otimização de funções de duas variáveis em regiões fechadas e limitadas. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos críticos dentro da região e também analisar a função na borda da região.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região. Para isso, calculamos as derivadas parciais em relação a e :
Igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 3

Vamos verificar se esse ponto está dentro da região definida por :
Como , assumimos que é um número positivo maior ou igual a para que o ponto esteja dentro da região.

Passo 4

Agora, vamos analisar a função na borda da região, onde . Para isso, podemos parametrizar a circunferência usando e , onde varia de a .
Substituindo na função:
Simplificando:
Para encontrar os extremos, derivamos em relação a , igualamos a zero e resolvemos para . Porém, uma abordagem mais simples é observar que a função quadrática em termos de pode ser maximizada ou minimizada.

Passo 5

Considerando a restrição , podemos expressar e substituir na função:
Esta é uma função quadrática em , que atinge seu valor máximo no vértice. O vértice de uma função está em :
Substituindo na função:
Além disso, devemos avaliar a função nos pontos extremos da borda:
Para :
Para :

Resposta

Os extremos absolutos da função na região circular são:
  • Máximo absoluto em com valor .
  • Mínimo absoluto em com valor .

Exercícios relacionados

Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções abaixo:
Determine os pontos críticos das seguintes funções:
Considere a função
no quadrado unitário .
Encontre os valores máximo e mínimo de em cada diagonal do quadrado.
Encontre os extremos absolutos da função dada no conjunto fechado e limitado indicado.
é a região retangular com vértices e .