Encontre os extremos absolutos da função dada no conjunto fechado e limitado
indicado.
é a região circular
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos os extremos absolutos da função
dentro de uma região circular definida por
, onde
é diferente de 4. Isso está dentro do conteúdo de otimização de funções de duas variáveis em regiões fechadas e limitadas. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos críticos dentro da região e também analisar a função na borda da região.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região. Para isso, calculamos as derivadas parciais em relação a
e
:
Igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 3
Vamos verificar se esse ponto está dentro da região definida por
:
Como
, assumimos que
é um número positivo maior ou igual a
para que o ponto esteja dentro da região.
Passo 4
Agora, vamos analisar a função na borda da região, onde
. Para isso, podemos parametrizar a circunferência usando
e
, onde
varia de
a
.
Substituindo na função:
Simplificando:
Para encontrar os extremos, derivamos
em relação a
, igualamos a zero e resolvemos para
. Porém, uma abordagem mais simples é observar que a função quadrática em termos de
pode ser maximizada ou minimizada.
Passo 5
Considerando a restrição
, podemos expressar
e substituir na função:
Esta é uma função quadrática em
, que atinge seu valor máximo no vértice. O vértice de uma função
está em
:
Substituindo
na função:
Além disso, devemos avaliar a função nos pontos extremos da borda:
Para
:
Para
:
Resposta
Os extremos absolutos da função
na região circular
são:
- Máximo absoluto em
com valor . - Mínimo absoluto em
com valor .
Exercícios relacionados
Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções abaixo:
Determine os pontos críticos das seguintes funções:
Considere a função
no quadrado unitário
.
Encontre os valores máximo e mínimo de
em cada diagonal do quadrado.
Encontre os extremos absolutos da função dada no conjunto fechado e limitado
indicado.
é a região retangular com vértices
e
.