Encontre os extremos absolutos da função dada no conjunto fechado e limitado indicado.
é a região retangular com vértices e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os extremos absolutos da função dentro da região retangular com vértices em , , e . Isso envolve entender um pouquinho de cálculo multivariável, como encontrar máximos e mínimos de funções de duas variáveis em uma região fechada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região . Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e igualá-las a zero.
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos igualar as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
A segunda equação implica que (já que nunca é zero), então .
Substituindo na primeira equação:
Vamos verificar se está dentro da região . Sabemos que , que está entre 0 e 1. Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Agora, vamos avaliar a função nesse ponto crítico:

Passo 5

Em seguida, precisamos avaliar a função nas bordas da região . A região é um retângulo, então temos 4 bordas:
  1. Borda 1: , com variando de 0 a 1.
    Como vai de 0 a 1, vai de 1 a , então vai de -1 a .
  2. Borda 2: , com variando de 0 a 1.
    vai de 1 a , então vai de a .
  3. Borda 3: , com variando de 0 a 2.
    Esta é uma parábola que atinge seu máximo no vértice. Calculando o vértice:
    Então, , , e .
  4. Borda 4: , com variando de 0 a 2.
    Para encontrar extremos nesta borda, derivamos em relação a :
    Igualando a zero:
    Avaliando:
    Além disso, avaliando as extremidades:

Passo 6

Agora, vamos resumir todos os valores obtidos:
  • Ponto crítico interno:
  • Borda 1 ( ): mínimo , máximo
  • Borda 2 ( ): mínimo , máximo
  • Borda 3 ( ): mínimo , máximo
  • Borda 4 ( ): mínimo , máximo

Resposta

Os extremos absolutos da função na região são:
  • Máximo absoluto: no ponto
  • Mínimo absoluto: nos pontos

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Considere a função
no quadrado unitário .
Encontre os valores máximo e mínimo de em cada diagonal do quadrado.
Encontre os extremos absolutos da função dada no conjunto fechado e limitado indicado.
é a região circular .
Considere a função
no quadrado unitário .
Encontre os valolres máximo e mínimo de no quadrado inteiro.
Resolva usando multiplicadores de Lagrange.
Determine o ponto da reta que está mais próximo da origem.