Encontre os extremos absolutos da função dada no conjunto fechado e limitado
indicado.
é a região retangular com vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os extremos absolutos da função
dentro da região retangular
com vértices em
,
,
e
. Isso envolve entender um pouquinho de cálculo multivariável, como encontrar máximos e mínimos de funções de duas variáveis em uma região fechada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região
. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos igualar as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
A segunda equação
implica que
(já que
nunca é zero), então
.
Substituindo
na primeira equação:
Vamos verificar se
está dentro da região
. Sabemos que
, que está entre 0 e 1. Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Agora, vamos avaliar a função
nesse ponto crítico:
Passo 5
Em seguida, precisamos avaliar a função nas bordas da região
. A região é um retângulo, então temos 4 bordas:
-
Borda 1:
, com variando de 0 a 1. Comovai de 0 a 1, vai de 1 a , então vai de -1 a . -
Borda 2:
, com variando de 0 a 1. vai de 1 a , então vai de a . -
Borda 3:
, com variando de 0 a 2. Esta é uma parábola que atinge seu máximo no vértice. Calculando o vértice:Então,, , e . -
Borda 4:
, com variando de 0 a 2. Para encontrar extremos nesta borda, derivamos em relação a: Igualando a zero:Avaliando:Além disso, avaliando as extremidades:
Passo 6
Agora, vamos resumir todos os valores obtidos:
- Ponto crítico interno:
- Borda 1 (
): mínimo , máximo - Borda 2 (
): mínimo , máximo - Borda 3 (
): mínimo , máximo - Borda 4 (
): mínimo , máximo
Resposta
Os extremos absolutos da função
na região
são:
- Máximo absoluto:
no ponto - Mínimo absoluto:
nos pontos
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no quadrado unitário
.
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indicado.
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.
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no quadrado unitário
.
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