Considere a função
no quadrado unitário
.
Encontre os valolres máximo e mínimo de
no quadrado inteiro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
definida no quadrado unitário, ou seja, com
e
. Nosso objetivo aqui é encontrar os valores máximo e mínimo dessa função dentro desse quadrado inteiro. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de funções de várias variáveis, especificamente encontrar pontos críticos e analisar as fronteiras do domínio.
Passo 2
Primeiro passo para encontrar os extremos da função é calcular as derivadas parciais em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a identificar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos essas derivadas a zero:
Vamos resolver o sistema de equações. Da equação (2), podemos isolar
:
Substituindo
na equação (1):
Então,
.
Portanto, o único ponto crítico dentro do domínio é
.
Passo 4
Vamos agora avaliar a função nesse ponto crítico:
Esse é um candidato para máximo ou mínimo, mas precisamos também verificar as fronteiras do quadrado para ter certeza dos valores extremos.
Passo 5
Vamos analisar cada fronteira do quadrado:
- Fronteira
, :
Essa é uma parábola que atinge seu valor máximo em
e mínimo em
:
- Fronteira
, :
Para encontrar os extremos dessa expressão, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Então, avaliamos
:
Também verificamos os extremos nas extremidades:
- Fronteira
, :
Essa função atinge seu mínimo em
e máximo em
:
- Fronteira
, :
Derivamos em relação a
:
Como
está fora do intervalo, avaliamos nas extremidades:
Resposta
Portanto, no quadrado unitário, o valor mínimo de
é
, atingido em
, e o valor máximo é
(aproximadamente 4,33), atingido em
.
Exercícios relacionados
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indicado.
é a região retangular com vértices
e
.
Considere a função
no quadrado unitário
.
Encontre os valores máximo e mínimo de
em cada diagonal do quadrado.
Resolva usando multiplicadores de Lagrange.
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que está mais próximo da origem.
Determine as dimensões da caixa retangular de volume máximo que pode ser inscrita em uma esfera de raio
.