Considere a função
f(x, y) = 4x^2 - 3y^2 + 2xy
no quadrado unitário 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1.
c Encontre os valolres máximo e mínimo de f no quadrado inteiro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função definida no quadrado unitário, ou seja, com e . Nosso objetivo aqui é encontrar os valores máximo e mínimo dessa função dentro desse quadrado inteiro. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de funções de várias variáveis, especificamente encontrar pontos críticos e analisar as fronteiras do domínio.

Passo 2

Primeiro passo para encontrar os extremos da função é calcular as derivadas parciais em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a identificar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos essas derivadas a zero:
Vamos resolver o sistema de equações. Da equação (2), podemos isolar :
Substituindo na equação (1):
Então, .
Portanto, o único ponto crítico dentro do domínio é .

Passo 4

Vamos agora avaliar a função nesse ponto crítico:
Esse é um candidato para máximo ou mínimo, mas precisamos também verificar as fronteiras do quadrado para ter certeza dos valores extremos.

Passo 5

Vamos analisar cada fronteira do quadrado:
  1. Fronteira , :
Essa é uma parábola que atinge seu valor máximo em e mínimo em :
  1. Fronteira , :
Para encontrar os extremos dessa expressão, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Então, avaliamos :
Também verificamos os extremos nas extremidades:
  1. Fronteira , :
Essa função atinge seu mínimo em e máximo em :
  1. Fronteira , :
Derivamos em relação a :
Como está fora do intervalo, avaliamos nas extremidades:

Resposta

Portanto, no quadrado unitário, o valor mínimo de é , atingido em , e o valor máximo é (aproximadamente 4,33), atingido em .

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