Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função
. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente encontrando derivadas parciais e aplicando o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a encontrar os pontos críticos onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos achar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Vamos resolver esse sistema:
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Então,
. Portanto, o ponto crítico é
.
Passo 4
Para classificar esse ponto crítico, vamos usar o teste da segunda derivada. Precisamos calcular a segunda derivada parcial e o determinante da matriz Hessiana.
Calculando as segundas derivadas:
O determinante da Hessiana
é dado por:
Passo 5
Interpretando o resultado do teste da segunda derivada:
- Se
e , temos um mínimo local. - Se
e , temos um máximo local. - Se
, temos um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
e
. Portanto, o ponto
é um mínimo local.
Resposta
A função
possui um único ponto crítico em
, que é um mínimo local.