Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função . Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente encontrando derivadas parciais e aplicando o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a encontrar os pontos críticos onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela.
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos achar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Vamos resolver esse sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então, . Portanto, o ponto crítico é .

Passo 4

Para classificar esse ponto crítico, vamos usar o teste da segunda derivada. Precisamos calcular a segunda derivada parcial e o determinante da matriz Hessiana.
Calculando as segundas derivadas:
O determinante da Hessiana é dado por:

Passo 5

Interpretando o resultado do teste da segunda derivada:
  • Se e , temos um mínimo local.
  • Se e , temos um máximo local.
  • Se , temos um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, e . Portanto, o ponto é um mínimo local.

Resposta

A função possui um único ponto crítico em , que é um mínimo local.

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