Determine as dimensões da caixa retangular de volume máximo que pode ser inscrita em uma esfera de raio .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as dimensões de uma caixa retangular que tem o maior volume possível e que está dentro de uma esfera de raio . Isso envolve um pouco de geometria e cálculo para otimizar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar a caixa dentro da esfera. Como a caixa está inscrita na esfera, as diagonais da caixa vão tocar a superfície da esfera. Se chamarmos as dimensões da caixa de , e , então a diagonal da caixa pode ser encontrada usando o Teorema de Pitágoras no espaço:
Isso porque o diâmetro da esfera é .

Passo 3

Agora, queremos maximizar o volume da caixa. O volume de uma caixa retangular é dado por:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que maximizam sujeito à restrição .

Passo 4

Como queremos maximizar o volume sob essa restrição, podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos a função Lagrangiana:

Passo 5

Derivamos a Lagrangiana em relação a , , e e igualamos a zero:

Passo 6

Observando as primeiras três equações, vemos que elas são simétricas. Isso sugere que . Vamos chamar cada dimensão de . Então, temos:

Passo 7

Assim, as dimensões da caixa são todas iguais a . Portanto, a caixa é um cubo com arestas de comprimento .

Resposta

As dimensões da caixa retangular de volume máximo inscrita na esfera de raio são .

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