Determine as dimensões da caixa retangular de volume máximo que pode ser inscrita em uma esfera de raio
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as dimensões de uma caixa retangular que tem o maior volume possível e que está dentro de uma esfera de raio
. Isso envolve um pouco de geometria e cálculo para otimizar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar a caixa dentro da esfera. Como a caixa está inscrita na esfera, as diagonais da caixa vão tocar a superfície da esfera. Se chamarmos as dimensões da caixa de
,
e
, então a diagonal da caixa pode ser encontrada usando o Teorema de Pitágoras no espaço:
Isso porque o diâmetro da esfera é
.
Passo 3
Agora, queremos maximizar o volume da caixa. O volume
de uma caixa retangular é dado por:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
que maximizam
sujeito à restrição
.
Passo 4
Como queremos maximizar o volume sob essa restrição, podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos a função Lagrangiana:
Passo 5
Derivamos a Lagrangiana em relação a
,
,
e
e igualamos a zero:
Passo 6
Observando as primeiras três equações, vemos que elas são simétricas. Isso sugere que
. Vamos chamar cada dimensão de
. Então, temos:
Passo 7
Assim, as dimensões da caixa são todas iguais a
. Portanto, a caixa é um cubo com arestas de comprimento
.
Resposta
As dimensões da caixa retangular de volume máximo inscrita na esfera de raio
são
.
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.
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