Resolva usando multiplicadores de Lagrange.
Determine o ponto da reta
que está mais próximo da origem.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede e quais conceitos vamos utilizar. A questão é sobre encontrar o ponto na reta
que está mais próximo da origem. Para isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, uma técnica de otimização que nos ajuda a encontrar os extremos (mínimos ou máximos) de uma função sujeita a uma restrição.
Passo 2
Primeiro, precisamos definir qual é a função que queremos minimizar. Como queremos encontrar o ponto mais próximo da origem, a função a minimizar é a distância entre um ponto
e a origem
. A distância
é dada por:
Para simplificar os cálculos, podemos minimizar
, já que a função é crescente e o mínimo de
também será o mínimo de
.
Passo 3
Agora, definimos a restrição do problema, que é a reta
.
Passo 4
Formulamos o lagrangiano, que combina a função a ser minimizada com a restrição multiplicada por um multiplicador de Lagrange
:
Passo 5
Para encontrar os extremos, calculamos as derivadas parciais do lagrangiano em relação a
,
e
, e as igualamos a zero:
Passo 6
Resolvemos o sistema de equações obtido:
Da equação (1):
Da equação (2):
Substituímos
e
nas equações (4) e (5) na equação (3):
Passo 7
Agora, substituímos
nas equações (4) e (5) para encontrar
e
:
Resposta
O ponto da reta
que está mais próximo da origem é
.
Exercícios relacionados
Considere a função
no quadrado unitário
.
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no quadrado inteiro.
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indicado.
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e
.
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.
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no quadrado unitário
.
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em cada aresta do quadrado.