Resolva usando multiplicadores de Lagrange.
Determine o ponto da reta que está mais próximo da origem.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede e quais conceitos vamos utilizar. A questão é sobre encontrar o ponto na reta que está mais próximo da origem. Para isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, uma técnica de otimização que nos ajuda a encontrar os extremos (mínimos ou máximos) de uma função sujeita a uma restrição.

Passo 2

Primeiro, precisamos definir qual é a função que queremos minimizar. Como queremos encontrar o ponto mais próximo da origem, a função a minimizar é a distância entre um ponto e a origem . A distância é dada por:
Para simplificar os cálculos, podemos minimizar , já que a função é crescente e o mínimo de também será o mínimo de .

Passo 3

Agora, definimos a restrição do problema, que é a reta .

Passo 4

Formulamos o lagrangiano, que combina a função a ser minimizada com a restrição multiplicada por um multiplicador de Lagrange :

Passo 5

Para encontrar os extremos, calculamos as derivadas parciais do lagrangiano em relação a , e , e as igualamos a zero:

Passo 6

Resolvemos o sistema de equações obtido:
Da equação (1):
Da equação (2):
Substituímos e nas equações (4) e (5) na equação (3):

Passo 7

Agora, substituímos nas equações (4) e (5) para encontrar e :

Resposta

O ponto da reta que está mais próximo da origem é .

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