Considere a função
no quadrado unitário
.
Encontre os valores máximo e mínimo de
em cada aresta do quadrado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo da função
em cada aresta do quadrado unitário definido por
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo sobre otimização de funções em restrições, que basicamente envolvem analisar a função em cada parte da fronteira do domínio.
Passo 2
Vamos começar analisando a primeira aresta do quadrado, onde
e
varia de 0 a 1. Substituímos
por 0 na função:
Agora, temos uma função de uma variável
. Para encontrar os máximos e mínimos, derivamos em relação a
e igualamos a derivada a zero:
Então, avaliamos
nos extremos do intervalo e no ponto crítico
:
Portanto, na aresta
:
- Mínimo:
em - Máximo:
em
Passo 3
Agora, vamos para a segunda aresta, onde
e
varia de 0 a 1. Substituímos
por 1 na função:
Mais uma vez, derivamos em relação a
:
Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Mas
não está no intervalo
, então avaliamos somente nos extremos:
Portanto, na aresta
:
- Mínimo:
em - Máximo:
em
Passo 4
Vamos para a terceira aresta, onde
e
varia de 0 a 1. Substituímos
por 0 na função:
Derivando em relação a
:
Igualamos a derivada a zero:
Avaliamos
nos extremos e no ponto crítico
:
Então, na aresta
:
- Mínimo:
em - Máximo:
em
Passo 5
Por último, vamos analisar a quarta aresta, onde
e
varia de 0 a 1. Substituímos
por 1 na função:
Derivando em relação a
:
Igualamos a derivada a zero para encontrar pontos críticos:
Agora, avaliamos
nos extremos e no ponto crítico
:
Portanto, na aresta
:
- Mínimo:
em - Máximo:
em
Resposta
Os valores máximo e mínimo de
em cada aresta do quadrado unitário são:
-
Aresta
: - Mínimo:
em - Máximo:
em
- Mínimo:
-
Aresta
: - Mínimo:
em - Máximo:
em
- Mínimo:
-
Aresta
: - Mínimo:
em - Máximo:
em
- Mínimo:
-
Aresta
: - Mínimo:
em - Máximo:
em
- Mínimo:
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.
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