Considere a função
f(x, y) = 4x^2 - 3y^2 + 2xy
no quadrado unitário 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1.
a Encontre os valores máximo e mínimo de f em cada aresta do quadrado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo da função em cada aresta do quadrado unitário definido por e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo sobre otimização de funções em restrições, que basicamente envolvem analisar a função em cada parte da fronteira do domínio.

Passo 2

Vamos começar analisando a primeira aresta do quadrado, onde e varia de 0 a 1. Substituímos por 0 na função:
Agora, temos uma função de uma variável . Para encontrar os máximos e mínimos, derivamos em relação a e igualamos a derivada a zero:
Então, avaliamos nos extremos do intervalo e no ponto crítico :
Portanto, na aresta :
  • Mínimo: em
  • Máximo: em

Passo 3

Agora, vamos para a segunda aresta, onde e varia de 0 a 1. Substituímos por 1 na função:
Mais uma vez, derivamos em relação a :
Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Mas não está no intervalo , então avaliamos somente nos extremos:
Portanto, na aresta :
  • Mínimo: em
  • Máximo: em

Passo 4

Vamos para a terceira aresta, onde e varia de 0 a 1. Substituímos por 0 na função:
Derivando em relação a :
Igualamos a derivada a zero:
Avaliamos nos extremos e no ponto crítico :
Então, na aresta :
  • Mínimo: em
  • Máximo: em

Passo 5

Por último, vamos analisar a quarta aresta, onde e varia de 0 a 1. Substituímos por 1 na função:
Derivando em relação a :
Igualamos a derivada a zero para encontrar pontos críticos:
Agora, avaliamos nos extremos e no ponto crítico :
Portanto, na aresta :
  • Mínimo: em
  • Máximo: em

Resposta

Os valores máximo e mínimo de em cada aresta do quadrado unitário são:
  • Aresta :
    • Mínimo: em
    • Máximo: em
  • Aresta :
    • Mínimo: em
    • Máximo: em
  • Aresta :
    • Mínimo: em
    • Máximo: em
  • Aresta :
    • Mínimo: em
    • Máximo: em

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