Resolva usando multiplicadores de Lagrange.
Encontre os pontos da superfície que estão mais próximos da origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver o problema de encontrar os pontos na superfície que estão mais próximos da origem (0,0,0). Para isso, vamos usar um método chamado Multiplicadores de Lagrange, que ajuda a encontrar mínimos ou máximos de funções sujeitas a certas restrições. Aqui, queremos minimizar a distância da origem aos pontos na superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que queremos minimizar. A distância de um ponto até a origem é dada pela fórmula da distância:
Como a raiz quadrada é uma função crescente, minimizar é o mesmo que minimizar . Então, nossa função objetivo vai ser:

Passo 3

A restrição do problema é que os pontos devem estar na superfície . Vamos representar essa restrição por uma função:

Passo 4

Agora, aplicamos os Multiplicadores de Lagrange. Construímos a função Lagrangiana que combina nossa função objetivo e a restrição com um multiplicador :

Passo 5

Para encontrar os mínimos, calculamos as derivadas parciais de em relação a , , e , e as igualamos a zero:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações:
Da equação (3):
Isso nos dá duas possibilidades:

Passo 7

Caso 1:
Substituindo na equação (4):
Das equações (1) e (2):
Podemos resolver para :
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Igualando as duas expressões para :
Como :
  • Se :
Então, .
Portanto, os pontos são e .

Resposta

Os pontos na superfície que estão mais próximos da origem são e .

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Resolva usando multiplicadores de Lagrange.
Encontre os pontos da circunferência que estão mais próximo e afastado da origem.
Considere a função
no quadrado unitário .
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; é a região que satisfaz as desigualdades , e .
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Encontre o ponto do plano que está mais próximo de .