Resolva usando multiplicadores de Lagrange.
Encontre os pontos da superfície
que estão mais próximos da origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver o problema de encontrar os pontos na superfície
que estão mais próximos da origem (0,0,0). Para isso, vamos usar um método chamado Multiplicadores de Lagrange, que ajuda a encontrar mínimos ou máximos de funções sujeitas a certas restrições. Aqui, queremos minimizar a distância da origem aos pontos na superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que queremos minimizar. A distância de um ponto
até a origem é dada pela fórmula da distância:
Como a raiz quadrada é uma função crescente, minimizar
é o mesmo que minimizar
. Então, nossa função objetivo vai ser:
Passo 3
A restrição do problema é que os pontos devem estar na superfície
. Vamos representar essa restrição por uma função:
Passo 4
Agora, aplicamos os Multiplicadores de Lagrange. Construímos a função Lagrangiana
que combina nossa função objetivo e a restrição com um multiplicador
:
Passo 5
Para encontrar os mínimos, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
,
,
e
, e as igualamos a zero:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações:
Da equação (3):
Isso nos dá duas possibilidades:
Passo 7
Caso 1:
Substituindo
na equação (4):
Das equações (1) e (2):
Podemos resolver para
:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Igualando as duas expressões para
:
Como
:
- Se
:
Então,
.
Portanto, os pontos são
e
.
Resposta
Os pontos na superfície
que estão mais próximos da origem são
e
.
Exercícios relacionados
Resolva usando multiplicadores de Lagrange.
Encontre os pontos da circunferência
que estão mais próximo e afastado da origem.
Considere a função
no quadrado unitário
.
Encontre os valores máximo e mínimo de
em cada aresta do quadrado.
Encontre os extremos absolutos da função dada no conjunto fechado e limitado
indicado.
;
é a região que satisfaz as desigualdades
, e
.
Resolva usando multiplicadores de Lagrange.
Encontre o ponto do plano
que está mais próximo de
.