Resolva usando multiplicadores de Lagrange.
c Encontre os pontos da circunferência x^2 + y^2 = 45 que estão mais próximo e afastado da origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os pontos na circunferência que estão mais próximos e mais afastados da origem. Para resolver isso, vamos usar multiplicadores de Lagrange, que são uma ferramenta legal para otimizar (maximizar ou minimizar) uma função sujeita a uma restrição.

Passo 2

Primeiro, precisamos definir a nossa função objetivo. Queremos minimizar e maximizar a distância dos pontos da circunferência até a origem. A distância de um ponto (x, y) até a origem é dada por , mas como vamos trabalhar com quadrados para facilitar, nossa função objetivo será:
Nossa restrição é a própria circunferência:

Passo 3

Agora, aplicamos os multiplicadores de Lagrange. A ideia é que o gradiente da função objetivo ( nabla f) seja igual a um múltiplo escalar ( lambda) do gradiente da restrição ( nabla g). Então, temos:
Calculando os gradientes:
Portanto:
Isso significa que lambda pode ser qualquer número real, mas a equação acima só faz sentido se ou se e .

Passo 4

Se tentarmos x = 0 e , percebemos que isso não satisfaz a restrição . Então, a única possibilidade válida é . Isso nos leva a:
O que já sabemos! Isso significa que todos os pontos na circunferência estão igualmente distantes da origem.

Resposta

Todos os pontos da circunferência estão à mesma distância da origem. Portanto, não existem pontos mais próximos nem mais afastados da origem nessa circunferência.

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