Resolva usando multiplicadores de Lagrange.
Encontre os pontos da circunferência
que estão mais próximo e afastado da origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os pontos na circunferência
que estão mais próximos e mais afastados da origem. Para resolver isso, vamos usar multiplicadores de Lagrange, que são uma ferramenta legal para otimizar (maximizar ou minimizar) uma função sujeita a uma restrição.
Passo 2
Primeiro, precisamos definir a nossa função objetivo. Queremos minimizar e maximizar a distância dos pontos da circunferência até a origem. A distância de um ponto
até a origem é dada por
, mas como vamos trabalhar com quadrados para facilitar, nossa função objetivo será:
Nossa restrição é a própria circunferência:
Passo 3
Agora, aplicamos os multiplicadores de Lagrange. A ideia é que o gradiente da função objetivo (
) seja igual a um múltiplo escalar (
) do gradiente da restrição (
). Então, temos:
Calculando os gradientes:
Portanto:
Isso significa que
pode ser qualquer número real, mas a equação acima só faz sentido se
ou se
e
.
Passo 4
Se tentarmos
e
, percebemos que isso não satisfaz a restrição
. Então, a única possibilidade válida é
. Isso nos leva a:
O que já sabemos! Isso significa que todos os pontos na circunferência estão igualmente distantes da origem.
Resposta
Todos os pontos da circunferência
estão à mesma distância da origem. Portanto, não existem pontos mais próximos nem mais afastados da origem nessa circunferência.
Exercícios relacionados
Considere a função
no quadrado unitário
.
Encontre os valores máximo e mínimo de
em cada aresta do quadrado.
Determine as dimensões da caixa retangular de volume máximo que pode ser inscrita em uma esfera de raio
.
Resolva usando multiplicadores de Lagrange.
Encontre os pontos da superfície
que estão mais próximos da origem.
Encontre os extremos absolutos da função dada no conjunto fechado e limitado
indicado.
;
é a região que satisfaz as desigualdades
, e
.