Considere a função
f(x, y)=x y^2x^2+y^2
Verifique que f(x, y) satisfaz
x partial fpartial x+y partial fpartial y=f(x, y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para verificar se a função
f(x, y)=x y^2x^2+y^2
satisfaça a equação
x partial fpartial x+y partial fpartial y=f(x, y)
Aqui, estamos lidando com derivadas parciais da função em relação às variáveis e . Para resolver isso, vamos calcular as derivadas parciais e , e depois substituir na equação para verificar se a igualdade é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f(x, y) = x y^2x^2 + y^2 em relação a ddx(uv) = v dudx - u dvdxv^2 , ou seja, partial fpartial x = (x^2 + y^2) cdot y^2 - x y^2 cdot 2x(x^2 + y^2)^2 = y^2(x^2 + y^2 - 2x^2)(x^2 + y^2)^2 = y^2(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2 .
A função é:
Vamos usar a regra do quociente para derivar em relação a . A regra do quociente diz que se temos uma função , então sua derivada é:
Aplicando isso à nossa função:
  • então .
  • então .
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = (x^2 + y^2) cdot 2x y - x y^2 cdot 2y(x^2 + y^2)^2 = 2x y (x^2 + y^2) - 2x y^3(x^2 + y^2)^2 em relação a partial fpartial y = 2x y x^2 + 2x y y^2 - 2x y^3(x^2 + y^2)^2 = 2x^3 y(x^2 + y^2)^2 , ou seja, .
Usando novamente a regra do quociente:
  • então .
  • então .
Aplicando a regra:
Simplificando:

Passo 4

Agora que temos x partial fpartial x + y partial fpartial y e x cdot y^2(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2 + y cdot 2x^3 y(x^2 + y^2)^2 , vamos substituir na equação dada:
x y^2 (y^2 - x^2) + 2x^3 y^2(x^2 + y^2)^2
Substituindo os valores:
x y^4 - x^3 y^2 + 2x^3 y^2(x^2 + y^2)^2 = x y^4 + x^3 y^2(x^2 + y^2)^2
Simplificando:
x y^2 (y^2 + x^2)(x^2 + y^2)^2 = x y^2 (x^2 + y^2)(x^2 + y^2)^2 = x y^2x^2 + y^2
Distribuindo o :
Fatorando no numerador:

Resposta

Portanto,
x partial fpartial x + y partial fpartial y = f(x, y)
A igualdade é verdadeira, o que confirma que a função satisfaz a equação dada.

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