Detemine as derivadas parciais partial f / partial x e partial f / partial y da função dada por
f(x, y)=(x^2+y^2) ln (x^2+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais partial f / partial x e partial f / partial y da função
f(x, y)=(x^2+y^2) ln (x^2+y^2)
Isso envolve conhecimentos de cálculo de derivadas parciais e regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos precisar entender como derivar funções compostas e como aplicar essas regras passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a x, ou seja, partial f / partial x.
A função f(x, y) é um produto de duas funções:
  • u(x, y) = x^2 + y^2
  • v(x, y) = ln(x^2 + y^2)
Para derivar esse produto, usaremos a regra do produto, que diz que a derivada de u cdot v em relação a x é:
partial fpartial x = u cdot partial vpartial x + v cdot partial upartial x

Passo 3

Vamos calcular cada parte separadamente.
Primeiro, calculamos partial upartial x:
u = x^2 + y^2 partial upartial x = 2x
Em seguida, calculamos partial vpartial x:
v = ln(u) = ln(x^2 + y^2) partial vpartial x = 1u cdot partial upartial x = 1x^2 + y^2 cdot 2x = 2xx^2 + y^2

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do produto:
partial fpartial x = u cdot partial vpartial x + v cdot partial upartial x = (x^2 + y^2) cdot (2xx^2 + y^2) + ln(x^2 + y^2) cdot 2x = 2x + 2x ln(x^2 + y^2)

Passo 5

Simplificando a expressão, temos:
partial fpartial x = 2x (1 + ln(x^2 + y^2))

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a y, ou seja, partial f / partial y. O processo é similar ao que fizemos para x.
Aplicando a regra do produto:
partial fpartial y = u cdot partial vpartial y + v cdot partial upartial y

Passo 7

Calculamos partial upartial y:
u = x^2 + y^2 partial upartial y = 2y
E partial vpartial y:
v = ln(u) = ln(x^2 + y^2) partial vpartial y = 1u cdot partial upartial y = 1x^2 + y^2 cdot 2y = 2yx^2 + y^2

Passo 8

Aplicando a regra do produto:
partial fpartial y = (x^2 + y^2) cdot (2yx^2 + y^2) + ln(x^2 + y^2) cdot 2y = 2y + 2y ln(x^2 + y^2)

Passo 9

Simplificando a expressão, temos:
partial fpartial y = 2y (1 + ln(x^2 + y^2))

Resposta

As derivadas parciais da função f(x, y)=(x^2+y^2) ln (x^2+y^2) são:
partial fpartial x = 2x (1 + ln(x^2 + y^2))
e
partial fpartial y = 2y (1 + ln(x^2 + y^2))

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Considere a função
f(x, y)=x y^2x^2+y^2
Verifique que f(x, y) satisfaz
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Detemine as derivadas parciais partial f / partial x e partial f / partial y da função dada por
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Detemine as derivadas parciais partial f / partial x e partial f / partial y da função dada por
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Esboce a região de integração e faça a mudança da orden de integração. integral0^1 integraly^2^2-y f(x, y) d x d y