Detemine as derivadas parciais
e
da função dada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais
e
da função
Isso envolve conhecimentos de cálculo de derivadas parciais e regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos precisar entender como derivar funções compostas e como aplicar essas regras passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
é um produto de duas funções:
Para derivar esse produto, usaremos a regra do produto, que diz que a derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Vamos calcular cada parte separadamente.
Primeiro, calculamos
:
Em seguida, calculamos
:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra do produto:
Passo 5
Simplificando a expressão, temos:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. O processo é similar ao que fizemos para
.
Aplicando a regra do produto:
Passo 7
Calculamos
:
E
:
Passo 8
Aplicando a regra do produto:
Passo 9
Simplificando a expressão, temos:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e
Exercícios relacionados
Considere a função
Verifique que
satisfaz
Detemine as derivadas parciais
e
da função dada por
Detemine as derivadas parciais
e
da função dada por
Esboce a região de integração e faça a mudança da orden de integração.