Detemine as derivadas parciais
e
da função dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as derivadas parciais de
em relação a
e
. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do logaritmo e a regra da cadeia, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que
. Então, a função fica:
Passo 3
Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz
, podemos simplificar ainda mais:
Passo 4
Vamos encontrar a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos pela derivada de
em relação a
.
Aqui,
, então:
Passo 5
Calculando a derivada de
em relação a
:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. O processo é parecido com o que fizemos para
.
Passo 8
Calculando a derivada de
em relação a
:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Detemine as derivadas parciais
e
da função dada por
Considere a função
Verifique que
satisfaz
Esboce a região de integração e faça a mudança da orden de integração.
Utilize a Propriedade 11 para estimar o valor da integral.
,
é o disco com centro na origem e raio