Detemine as derivadas parciais partial f / partial x e partial f / partial y da função dada por
f(x, y)=ln raizx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as derivadas parciais de em relação a e . A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do logaritmo e a regra da cadeia, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que f(x, y) = ln ( (x^2 + y^2)^1/2 ) . Então, a função fica:

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz f(x, y) = 12 ln(x^2 + y^2) , podemos simplificar ainda mais:

Passo 4

Vamos encontrar a derivada parcial em relação a partial fpartial x = 12 cdot 1x^2 + y^2 cdot partialpartial x(x^2 + y^2) , ou seja, . Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a .
Aqui, , então:

Passo 5

Calculando a derivada de partialpartial x(x^2 + y^2) = 2x em relação a :

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
partial fpartial x = 12 cdot 1x^2 + y^2 cdot 2x = xx^2 + y^2

Passo 7

Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a partial fpartial y = 12 cdot 1x^2 + y^2 cdot partialpartial y(x^2 + y^2) , ou seja, . O processo é parecido com o que fizemos para .

Passo 8

Calculando a derivada de partialpartial y(x^2 + y^2) = 2y em relação a :

Passo 9

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
partial fpartial y = 12 cdot 1x^2 + y^2 cdot 2y = yx^2 + y^2

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = xx^2 + y^2
e
partial fpartial y = yx^2 + y^2

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Detemine as derivadas parciais partial f / partial x e partial f / partial y da função dada por
f(x, y)=(x^2+y^2) ln (x^2+y^2)
Considere a função
f(x, y)=x y^2x^2+y^2
Verifique que f(x, y) satisfaz
x partial fpartial x+y partial fpartial y=f(x, y)
Esboce a região de integração e faça a mudança da orden de integração. integral0^1 integraly^2^2-y f(x, y) d x d y
Utilize a Propriedade 11 para estimar o valor da integral. integral duplaD e^x^2+y^2 d A, D é o disco com centro na origem e raio 12