Detemine as derivadas parciais partial f / partial x e partial f / partial y da função dada por
f(x, y)=(x^2+y^2) sin x

Passo 1

Beleza, vamos resolver as derivadas parciais da função . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais. Para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e lembrar que, ao derivar em relação a uma variável, a outra é tratada como uma constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é . A função é um produto de duas funções: e . Então, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
partial fpartial x = ddx(x^2 + y^2) cdot sin x + (x^2 + y^2) cdot ddx(sin x)
Vamos derivar cada parte:
ddx(x^2 + y^2) = 2x (pois y^2 é constante em relação a x) éçã
ddx(sin x) = cos x
Então:
partial fpartial x = 2x sin x + (x^2 + y^2) cos x

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é . Nessa derivada, tratamos como uma constante. A função pode ser vista como a constante multiplicada por .

Passo 5

Derivando em relação a partial fpartial y = sin x cdot ddy(x^2 + y^2) = sin x cdot 2y = 2y sin x :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = 2x sin x + (x^2 + y^2) cos x
partial fpartial y = 2y sin x

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Considere a função
f(x, y)=x y^2x^2+y^2
Verifique que f(x, y) satisfaz
x partial fpartial x+y partial fpartial y=f(x, y)