Detemine as derivadas parciais partial f / partial x e partial f / partial y da função dada por
f(x, y)=x+yx-y

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y da função dada por
f(x, y) = x + yx - y
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais, que é uma parte da matemática que estuda como uma função muda em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do quociente na diferenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a x, ou seja, partial fpartial x. Para isso, tratamos y como uma constante e diferenciamos com respeito a x.
A função é:
f(x, y) = x + yx - y
Aplicando a regra do quociente, que diz que a derivada de uv é u'v - uv'v^2, onde u = x + y e v = x - y.
Calculamos as derivadas de u e v em relação a x:
u' = ddx(x + y) = 1
v' = ddx(x - y) = 1
Agora aplicamos a regra do quociente:
partial fpartial x = (1)(x - y) - (x + y)(1)(x - y)^2
Simplificando o numerador:
(x - y) - (x + y) = x - y - x - y = -2y
Então:
partial fpartial x = -2y(x - y)^2

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a y, ou seja, partial fpartial y. Desta vez, tratamos x como uma constante e diferenciamos com respeito a y.
Novamente, usamos a função:
f(x, y) = x + yx - y
Aplicamos a regra do quociente, onde agora:
u = x + y e v = x - y
Calculamos as derivadas de u e v em relação a y:
u' = ddy(x + y) = 1
v' = ddy(x - y) = -1
Aplicando a regra do quociente:
partial fpartial y = (1)(x - y) - (x + y)(-1)(x - y)^2
Simplificando o numerador:
(x - y) + (x + y) = x - y + x + y = 2x
Então:
partial fpartial y = 2x(x - y)^2

Resposta

As derivadas parciais da função f(x, y) = x + yx - y são:
partial fpartial x = -2y(x - y)^2
e
partial fpartial y = 2x(x - y)^2

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