Considere a função:
Conclua que não existe
.
Dica da questão 3: Mostre que ao longo dos caminhos
e
os limites são diferentes na variável
.
Dica da questão 3: Mostre que ao longo dos caminhos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que é definida de duas formas: uma quando
não é igual a
e outra quando
. O objetivo aqui é mostrar que o limite de
quando
se aproxima de
não existe. Pra isso, vamos usar o conceito de limites em várias variáveis e verificar se o limite é o mesmo ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dizer que o limite não existe. Em funções de várias variáveis, para o limite existir, ele tem que ser o mesmo independente do caminho que a gente usa para se aproximar do ponto em questão. Então, se a gente encontrar dois caminhos diferentes que levam a limites diferentes, já sabemos que o limite geral não existe.
Passo 3
Vamos começar analisando o caminho onde
. Nesse caso, substituindo na função
, temos:
Ao longo desse caminho, o limite de
quando
(e, consequentemente,
) se aproxima de 0 é 0.
Passo 4
Agora, vamos olhar para o caminho onde
. Substituindo na função, temos:
Aqui, ao longo desse caminho, o limite de
quando
se aproxima de 0 é 1.
Passo 5
Então, observamos que ao nos aproximarmos de
pelo caminho
, o limite é 0, enquanto ao nos aproximarmos pelo caminho
, o limite é 1. Como esses limites são diferentes, isso significa que o limite geral de
quando
se aproxima de
não existe.
Resposta
O limite
não existe porque os limites ao longo dos caminhos
e
são diferentes.
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