Considere a função:
f(x, y)= (x-y)^2x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
Conclua que não existe lim (x, y) (0,0) f(x, y).
Dica da questão 3: Mostre que ao longo dos caminhos x=y e x=0 os limites são diferentes na variável y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é definida de duas formas: uma quando não é igual a e outra quando . O objetivo aqui é mostrar que o limite de quando se aproxima de não existe. Pra isso, vamos usar o conceito de limites em várias variáveis e verificar se o limite é o mesmo ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dizer que o limite não existe. Em funções de várias variáveis, para o limite existir, ele tem que ser o mesmo independente do caminho que a gente usa para se aproximar do ponto em questão. Então, se a gente encontrar dois caminhos diferentes que levam a limites diferentes, já sabemos que o limite geral não existe.

Passo 3

Vamos começar analisando o caminho onde f(x, x) = (x - x)^2x^2 + x^2 = 02x^2 = 0 . Nesse caso, substituindo na função , temos:
Ao longo desse caminho, o limite de quando (e, consequentemente, ) se aproxima de 0 é 0.

Passo 4

Agora, vamos olhar para o caminho onde f(0, y) = (0 - y)^20^2 + y^2 = y^2y^2 = 1 . Substituindo na função, temos:
Aqui, ao longo desse caminho, o limite de quando se aproxima de 0 é 1.

Passo 5

Então, observamos que ao nos aproximarmos de pelo caminho , o limite é 0, enquanto ao nos aproximarmos pelo caminho , o limite é 1. Como esses limites são diferentes, isso significa que o limite geral de quando se aproxima de não existe.

Resposta

O limite não existe porque os limites ao longo dos caminhos e são diferentes.

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