Esboce uma curva de nível para cada função:
f(x, y) = 3 x^2 + y^2 + 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente esboçar uma curva de nível para a função . O conteúdo aqui envolve curvas de nível, que são aquelas linhas que representam pontos onde a função assume o mesmo valor. Para resolver, a gente vai precisar entender como transformar a função em uma equação mais simples que descreve essas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma curva de nível é definida fixando igual a uma constante . Ou seja, vamos igualar a função a :

Passo 3

Agora, vamos isolar os termos que envolvem e para entender melhor a forma da curva:

Passo 4

Observando essa equação, percebemos que ela representa uma elipse, desde que . Isso porque a soma de termos quadráticos com coeficientes diferentes nos e caracteriza uma elipse.

Passo 5

Para confirmar, podemos dividir toda a equação por :
Isso mostra claramente a forma padrão de uma elipse:
Onde e .

Passo 6

Então, para cada valor de maior que 1, teremos uma elipse com eixos diferentes. Quanto maior for o , maior será o tamanho da elipse.

Resposta

As curvas de nível para a função são elipses descritas pela equação para valores de maiores que 1.

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