Esboce uma curva de nível para cada função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente esboçar uma curva de nível para a função
. O conteúdo aqui envolve curvas de nível, que são aquelas linhas que representam pontos onde a função assume o mesmo valor. Para resolver, a gente vai precisar entender como transformar a função em uma equação mais simples que descreve essas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma curva de nível é definida fixando
igual a uma constante
. Ou seja, vamos igualar a função a
:
Passo 3
Agora, vamos isolar os termos que envolvem
e
para entender melhor a forma da curva:
Passo 4
Observando essa equação, percebemos que ela representa uma elipse, desde que
. Isso porque a soma de termos quadráticos com coeficientes diferentes nos
e
caracteriza uma elipse.
Passo 5
Para confirmar, podemos dividir toda a equação por
:
Isso mostra claramente a forma padrão de uma elipse:
Onde
e
.
Passo 6
Então, para cada valor de
maior que 1, teremos uma elipse com eixos diferentes. Quanto maior for o
, maior será o tamanho da elipse.
Resposta
As curvas de nível para a função
são elipses descritas pela equação
para valores de
maiores que 1.
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Encontre e represente graficamente no plano o domínio de cada função:
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Considere a função:
Conclua que não existe
.
Dica da questão 3: Mostre que ao longo dos caminhos e
os limites são diferentes na variável
.
Dica da questão 3: Mostre que ao longo dos caminhos
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