Encontre a solução geral das EDOs de primeira ordem: d z/d x - 4 z/x = -2/x^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem: . Esse tipo de equação entra na categoria de EDOs lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão das EDOs lineares:
Comparando com a nossa equação:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :
Como geralmente é positivo em contextos físicos, podemos simplificar para:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

A ideia do fator integrante é que o lado esquerdo agora seja a derivada do produto . Vamos verificar:
Portanto, temos:

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente , e a do lado direito é:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, isolamos :
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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