Encontre a solução geral das EDOs de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem:
. Esse tipo de equação entra na categoria de EDOs lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão das EDOs lineares:
Comparando com a nossa equação:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Como
geralmente é positivo em contextos físicos, podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
A ideia do fator integrante é que o lado esquerdo agora seja a derivada do produto
. Vamos verificar:
Portanto, temos:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
, e a do lado direito é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, isolamos
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Esboce a região de integração em cada caso
Considere a função
. Encontre as curvas de nível para os valores
. Esboce as curvas no plano
.
Determine as equações paramétricas para a elipse com semi-eixo maior 5 ao longo do eixo
e semi-eixo menor 3 ao longo do eixo
.
( ) Toda função f(x, y) contínua num conjunto fechado e limitado admite um extremo absoluto