Considere a função f(x, y)=2 x+3 y+6 e calcule a integral dupla
integral duplaR f(x, y) d A
em que R é a região limitada:
R=(x, y) mid 1 <= x <= 3, x5 <= y <=-x+175.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla da função sobre a região definida por e . Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas, que basicamente somam os valores da função sobre uma área no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . Ela está limitada por duas funções de em termos de :
  1. — uma linha que sobe suavemente conforme aumenta.
  2. — uma linha que desce conforme aumenta.
E o intervalo de é de 1 a 3. Isso nos dá uma área específica no plano sobre a qual vamos integrar.

Passo 3

Agora, vamos montar a integral dupla. A integral dupla integralx=1^3 ( integraly=x5^-x + 175 (2x + 3y + 6) , dy ) dx pode ser escrita como uma integral iterada, ou seja, uma integral dentro de outra. Primeiro, integramos em relação a de a , e depois em relação a de 1 a 3. Ficaria assim:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integraly=x5^-x + 175 (2x + 3y + 6) , dy :
(2x + 6) cdot (y) |x5^-x + 175 + 3 cdot y^22 |x5^-x + 175
Como são constantes em relação a , a integral fica:

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
Primeira parte:
(2x + 6) ( ( -x + 175 ) - ( x5 ) ) = (2x + 6) ( -6x5 + 175 )
Segunda parte:
3 cdot 12 ( ( -x + 175 )^2 - ( x5 )^2 ) = 32 ( ( x^2 - 34x5 + 28925 ) - x^225 )

Passo 6

Simplificando as expressões:
Primeira parte:
(2x + 6) ( -6x5 + 175 ) = 15 (2x + 6)(-6x + 17)
Segunda parte:
32 ( 25x^2 - 170x + 289 - x^225 ) = 32 ( 24x^2 - 170x + 28925 )

Passo 7

Agora, juntando tudo e simplificando:
15 (2x + 6)(-6x + 17) + 32 cdot 24x^2 - 170x + 28925
Vamos multiplicar e simplificar os termos:
15 (-12x^2 + 34x - 36x + 102) + 72x^2 - 255x + 86750
15 (-12x^2 - 2x + 102) + 72x^2 - 255x + 86750
-12x^25 - 2x5 + 1025 + 72x^250 - 255x50 + 86750

Passo 8

Convertendo todos para denominador 50:
-120x^250 - 20x50 + 102050 + 72x^250 - 255x50 + 86750
Somando os termos semelhantes:
(-120x^2 + 72x^2) + (-20x - 255x) + (1020 + 867) = -48x^2 - 275x + 1887
Então, a integral interna simplificada é:
-48x^2 - 275x + 188750

Passo 9

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral1^3 -48x^2 - 275x + 188750 , dx = 150 integral1^3 (-48x^2 - 275x + 1887) , dx de 1 a 3:
150 ( -16x^3 - 2752x^2 + 1887x ) |1^3
Integrando termo a termo:

Passo 10

Calculando nos limites:
Para -16(27) - 2752(9) + 1887(3) = -432 - 1237.5 + 5661 = 3991.5 :
-16(1) - 2752(1) + 1887(1) = -16 - 137.5 + 1887 = 1733.5
Para 3991.5 - 1733.5 = 2258 :
225850 = 45.16
Subtraindo:
Multiplicando por :

Resposta

A integral dupla vale 45,16.

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