Considere a função e calcule a integral dupla
em que é a região limitada:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla da função sobre a região definida por e . Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas, que basicamente somam os valores da função sobre uma área no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . Ela está limitada por duas funções de em termos de :
  1. — uma linha que sobe suavemente conforme aumenta.
  2. — uma linha que desce conforme aumenta.
E o intervalo de é de 1 a 3. Isso nos dá uma área específica no plano sobre a qual vamos integrar.

Passo 3

Agora, vamos montar a integral dupla. A integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada, ou seja, uma integral dentro de outra. Primeiro, integramos em relação a de a , e depois em relação a de 1 a 3. Ficaria assim:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Como são constantes em relação a , a integral fica:

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
Primeira parte:
Segunda parte:

Passo 6

Simplificando as expressões:
Primeira parte:
Segunda parte:

Passo 7

Agora, juntando tudo e simplificando:
Vamos multiplicar e simplificar os termos:

Passo 8

Convertendo todos para denominador 50:
Somando os termos semelhantes:
Então, a integral interna simplificada é:

Passo 9

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de 1 a 3:
Integrando termo a termo:

Passo 10

Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:
Multiplicando por :

Resposta

A integral dupla vale 45,16.

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Usando a série de potências
encontre uma representação em série de potências para as funções abaixo, assim como seu intervalo de convergência
Calcule
em que é a região limitada:
Pela elipse .
Considere a função e calcule a integral dupla
em que é a região limitada:
.