Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla da função sobre a região definida por e . Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas, que basicamente somam os valores da função sobre uma área no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região . Ela está limitada por duas funções de em termos de :
— uma linha que sobe suavemente conforme aumenta.
— uma linha que desce conforme aumenta.
E o intervalo de é de 1 a 3. Isso nos dá uma área específica no plano sobre a qual vamos integrar.
Passo 3
Agora, vamos montar a integral dupla. A integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada, ou seja, uma integral dentro de outra. Primeiro, integramos em relação a de a , e depois em relação a de 1 a 3. Ficaria assim:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Como são constantes em relação a , a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular cada parte:
Primeira parte:
Segunda parte:
Passo 6
Simplificando as expressões:
Primeira parte:
Segunda parte:
Passo 7
Agora, juntando tudo e simplificando:
Vamos multiplicar e simplificar os termos:
Passo 8
Convertendo todos para denominador 50:
Somando os termos semelhantes:
Então, a integral interna simplificada é:
Passo 9
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de 1 a 3: