Use série de potências para encontrar a solução das equações diferenciais abaixo:

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial usando séries de potências. Esse tipo de equação faz parte do estudo de equações diferenciais ordinárias, onde buscamos soluções expressas como somas infinitas de potências de . Para resolver, precisaremos assumir que a solução pode ser representada por uma série de potências e encontrar os coeficientes que satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em :
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Calculamos as derivadas de :

Passo 4

Substituímos e na equação diferencial original:
Isso fica:

Passo 5

Distribuímos na soma:

Passo 6

Mudamos o índice das somas para que todas tenham o mesmo expoente de . Por exemplo, na segunda soma, fazemos a substituição :

Passo 7

Reescrevemos a equação com as novas somas:

Passo 8

Agora, combinamos as somas em uma única soma:

Passo 9

Igualamos os coeficientes de cada potência de a zero para que a igualdade seja válida para todo . Isso nos dá a relação de recorrência:

Passo 10

Simplificamos a relação de recorrência:

Passo 11

Para encontrar os coeficientes , precisamos de condições iniciais. Geralmente, assumimos e como constantes (por exemplo, , ), e então usamos a relação de recorrência para encontrar os demais coeficientes.

Passo 12

Finalmente, substituímos os coeficientes encontrados na série original para obter a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da equação diferencial em termos de séries de potências é dada por:
onde os coeficientes são determinados pela relação de recorrência:
com e sendo constantes arbitrárias.

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em que é a região limitada:
.
Calcule
em que é a região limitada:
Pela elipse .