Use série de potências para encontrar a solução das equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
usando séries de potências. Esse tipo de equação faz parte do estudo de equações diferenciais ordinárias, onde buscamos soluções expressas como somas infinitas de potências de
. Para resolver, precisaremos assumir que a solução
pode ser representada por uma série de potências e encontrar os coeficientes que satisfazem a equação.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Calculamos as derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial original:
Isso fica:
Passo 5
Distribuímos
na soma:
Passo 6
Mudamos o índice das somas para que todas tenham o mesmo expoente de
. Por exemplo, na segunda soma, fazemos a substituição
:
Passo 7
Reescrevemos a equação com as novas somas:
Passo 8
Agora, combinamos as somas em uma única soma:
Passo 9
Igualamos os coeficientes de cada potência de
a zero para que a igualdade seja válida para todo
. Isso nos dá a relação de recorrência:
Passo 10
Simplificamos a relação de recorrência:
Passo 11
Para encontrar os coeficientes
, precisamos de condições iniciais. Geralmente, assumimos
e
como constantes (por exemplo,
,
), e então usamos a relação de recorrência para encontrar os demais coeficientes.
Passo 12
Finalmente, substituímos os coeficientes encontrados na série original para obter a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
em termos de séries de potências é dada por:
onde os coeficientes
são determinados pela relação de recorrência:
com
e
sendo constantes arbitrárias.
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e calcule a integral dupla
em que
é a região limitada:
.
Calcule
em que
é a região limitada:
Pela elipse .
Pela elipse