Use série de potências para encontrar a solução das equações diferenciais abaixo:
(1-x) y'' + y = 0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial usando séries de potências. Esse tipo de equação faz parte do estudo de equações diferenciais ordinárias, onde buscamos soluções expressas como somas infinitas de potências de x. Para resolver, precisaremos assumir que a solução y pode ser representada por uma série de potências e encontrar os coeficientes que satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução y pode ser escrita como uma série de potências centrada em x = 0:
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Calculamos as derivadas de y:

Passo 4

Substituímos e y na equação diferencial original:
Isso fica:

Passo 5

Distribuímos na soma:

Passo 6

Mudamos o índice das somas para que todas tenham o mesmo expoente de x. Por exemplo, na segunda soma, fazemos a substituição :

Passo 7

Reescrevemos a equação com as novas somas:

Passo 8

Agora, combinamos as somas em uma única soma:

Passo 9

Igualamos os coeficientes de cada potência de x a zero para que a igualdade seja válida para todo x. Isso nos dá a relação de recorrência:

Passo 10

Simplificamos a relação de recorrência:

Passo 11

Para encontrar os coeficientes , precisamos de condições iniciais. Geralmente, assumimos e como constantes (por exemplo, , ), e então usamos a relação de recorrência para encontrar os demais coeficientes.

Passo 12

Finalmente, substituímos os coeficientes encontrados na série original para obter a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da equação diferencial em termos de séries de potências é dada por:
onde os coeficientes são determinados pela relação de recorrência:
com e sendo constantes arbitrárias.

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