Usando a série de potências
encontre uma representação em série de potências para as funções abaixo, assim como seu intervalo de convergência

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos uma representação em série de potências para a função , utilizando a série conhecida de , válida para . Vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas e integrais de séries de potências para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a série é uma série geométrica. Para relacionar essa série com a função , vamos pensar em como integrar ou derivar a série conhecida para obter uma série que represente .

Passo 3

Sabemos que a função é a integral de . Portanto, precisamos expressar de uma forma que possamos relacionar com a série geométrica que conhecemos.

Passo 4

Observe que pode ser reescrita como . Assim, temos:
Agora, podemos aplicar a série geométrica a essa expressão, onde é substituído por .

Passo 5

Aplicando a série geométrica, temos:
Essa série é válida para , ou seja, .

Passo 6

Agora, para encontrar , integramos a série termo a termo:

Passo 7

Integrando cada termo, temos:
Como , a constante de integração é zero. Portanto:

Passo 8

Por fim, determinamos o intervalo de convergência da série. Como partimos de uma série que converge para , e a operação de integração não altera o raio de convergência, a série para também converge para . Além disso, verificando os extremos e , a série converge por ser uma série alternada.

Resposta

A representação em série de potências para é:

Exercícios relacionados

Encontre o raio de convergência de cada série (usando o teste da razão):
A função de Bessel é dada pela série .
Prove que ela é solução da EDO
Use série de potências para encontrar a solução das equações diferenciais abaixo:
Considere a função e calcule a integral dupla
em que é a região limitada:
.