Usando a série de potências
11-x=sumn=0^infty x^n=1+x+x^2+x^3+ldots,|x|<1
encontre uma representação em série de potências para as funções abaixo, assim como seu intervalo de convergência
arctg x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos uma representação em série de potências para a função arctan x, utilizando a série conhecida de 11-x = sumn=0^infty x^n, válida para |x| < 1. Vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas e integrais de séries de potências para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a série 11-x = sumn=0^infty x^n é uma série geométrica. Para relacionar essa série com a função arctan x, vamos pensar em como integrar ou derivar a série conhecida para obter uma série que represente arctan x.

Passo 3

Sabemos que a função arctan x é a integral de 11+x^2. Portanto, precisamos expressar 11+x^2 de uma forma que possamos relacionar com a série geométrica que conhecemos.

Passo 4

Observe que 11+x^2 pode ser reescrita como 11-(-x^2). Assim, temos:
11+x^2 = 11-(-x^2)
Agora, podemos aplicar a série geométrica a essa expressão, onde x é substituído por -x^2.

Passo 5

Aplicando a série geométrica, temos:
11+x^2 = sumn=0^infty (-x^2)^n = sumn=0^infty (-1)^n x^2n
Essa série é válida para | -x^2 | < 1, ou seja, |x| < 1.

Passo 6

Agora, para encontrar arctan x, integramos a série termo a termo:
arctan x = integral 11+x^2 dx = integral sumn=0^infty (-1)^n x^2n dx = sumn=0^infty (-1)^n integral x^2n dx

Passo 7

Integrando cada termo, temos:
arctan x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n+1 + C
Como arctan 0 = 0, a constante de integração C é zero. Portanto:
arctan x = sumn=0^infty (-1)^n2n+1 x^2n+1

Passo 8

Por fim, determinamos o intervalo de convergência da série. Como partimos de uma série que converge para |x| < 1, e a operação de integração não altera o raio de convergência, a série para arctan x também converge para |x| <= 1. Além disso, verificando os extremos x = 1 e x = -1, a série converge por ser uma série alternada.

Resposta

A representação em série de potências para arctan x é:
arctan x = sumn=0^infty (-1)^n2n+1 x^2n+1, |x| <= 1

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