Usando a série de potências
encontre uma representação em série de potências para as funções abaixo, assim como seu intervalo de convergência
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos uma representação em série de potências para a função
, utilizando a série conhecida de
, válida para
. Vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas e integrais de séries de potências para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a série
é uma série geométrica. Para relacionar essa série com a função
, vamos pensar em como integrar ou derivar a série conhecida para obter uma série que represente
.
Passo 3
Sabemos que a função
é a integral de
. Portanto, precisamos expressar
de uma forma que possamos relacionar com a série geométrica que conhecemos.
Passo 4
Observe que
pode ser reescrita como
. Assim, temos:
Agora, podemos aplicar a série geométrica a essa expressão, onde
é substituído por
.
Passo 5
Aplicando a série geométrica, temos:
Essa série é válida para
, ou seja,
.
Passo 6
Agora, para encontrar
, integramos a série termo a termo:
Passo 7
Integrando cada termo, temos:
Como
, a constante de integração
é zero. Portanto:
Passo 8
Por fim, determinamos o intervalo de convergência da série. Como partimos de uma série que converge para
, e a operação de integração não altera o raio de convergência, a série para
também converge para
. Além disso, verificando os extremos
e
, a série converge por ser uma série alternada.
Resposta
A representação em série de potências para
é:
Exercícios relacionados
Encontre o raio de convergência de cada série (usando o teste da razão):
A função de Bessel é dada pela série
.
Prove que ela é solução da EDO
Prove que ela é solução da EDO
Use série de potências para encontrar a solução das equações diferenciais abaixo:
Considere a função
e calcule a integral dupla
em que
é a região limitada:
.