Considere a função
e o ponto
.
(b) Obtenha um vetor unitário na direção e sentido do qual
cresce mais rapidamente.
(b) Obtenha um vetor unitário na direção e sentido do qual
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que está rolando aqui. Temos a função
e um ponto específico
. O que precisamos descobrir é um vetor unitário que aponta na direção em que
aumenta mais rápido. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que nos dá exatamente essa direção de crescimento máximo. Depois, vamos normalizar esse gradiente para transformar em um vetor unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação a cada uma das suas variáveis. Ou seja,
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Então, o gradiente fica:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 5
Para encontrar o vetor unitário na direção do gradiente, precisamos dividir o gradiente pela sua magnitude. Primeiro, vamos calcular a magnitude de
:
Então, o vetor unitário
é:
Resposta
O vetor unitário na direção em que
cresce mais rapidamente é
Exercícios relacionados
Reduza à forma
:
Resolva as equações:
Resolva as equações:
Faça um esboço e identifique os seguintes conjuntos: