Considere a função e o ponto .
(b) Obtenha um vetor unitário na direção e sentido do qual cresce mais rapidamente.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que está rolando aqui. Temos a função e um ponto específico . O que precisamos descobrir é um vetor unitário que aponta na direção em que aumenta mais rápido. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que nos dá exatamente essa direção de crescimento máximo. Depois, vamos normalizar esse gradiente para transformar em um vetor unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação a cada uma das suas variáveis. Ou seja,

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente fica:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 5

Para encontrar o vetor unitário na direção do gradiente, precisamos dividir o gradiente pela sua magnitude. Primeiro, vamos calcular a magnitude de :
Então, o vetor unitário é:

Resposta

O vetor unitário na direção em que cresce mais rapidamente é

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