Considere a função f(x, y, z) = raiz(y + x * z).
b) Calcule o gradiente no ponto 3, 1, 1.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o gradiente da função no ponto . Para isso, vamos precisar entender o que é gradiente, como calcular derivadas parciais e aplicar esses conceitos para encontrar o resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função de várias variáveis é um vetor que contém todas as derivadas parciais dessa função em relação a cada uma das suas variáveis. No nosso caso, temos três variáveis: , e . Portanto, o gradiente de será:

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais.
  1. Derivada parcial em relação a :
    A função é . Para derivar em relação a , tratamos e como constantes.
  2. Derivada parcial em relação a :
    Da mesma forma, derivando em relação a :
  3. Derivada parcial em relação a :
    Derivando em relação a :

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, vamos montar o vetor gradiente:

Passo 5

Por fim, vamos calcular o valor do gradiente no ponto específico .
Primeiro, calculamos :
Então,
Agora, substituímos os valores no vetor gradiente:

Resposta

O gradiente da função no ponto é:

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