Considere a função
.
b) Calcule o gradiente no ponto
.
b) Calcule o gradiente no ponto
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular o gradiente da função
no ponto
. Para isso, vamos precisar entender o que é gradiente, como calcular derivadas parciais e aplicar esses conceitos para encontrar o resultado final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função de várias variáveis é um vetor que contém todas as derivadas parciais dessa função em relação a cada uma das suas variáveis. No nosso caso, temos três variáveis:
,
e
. Portanto, o gradiente de
será:
Passo 3
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais.
-
Derivada parcial em relação a
: A função é. Para derivar em relação a , tratamos e como constantes. -
Derivada parcial em relação a
: Da mesma forma, derivando em relação a: -
Derivada parcial em relação a
: Derivando em relação a:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, vamos montar o vetor gradiente:
Passo 5
Por fim, vamos calcular o valor do gradiente no ponto específico
.
Primeiro, calculamos
:
Então,
Agora, substituímos os valores no vetor gradiente:
Resposta
O gradiente da função
no ponto
é:
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Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de rosáceas).
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