Considere a função . Determine o gradiente de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar o gradiente dela. O gradiente é uma ferramenta da matemática que nos dá uma “seta” indicando a direção de maior crescimento da função. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais, que são as taxas de variação da função em relação a cada uma das variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que contém as derivadas parciais dessa função em relação a cada variável. Ou seja,
Então, nosso objetivo é calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , que é .
A função é . Podemos reescrever isso como .
Aplicando a regra da cadeia para derivadas, temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é .
Usando a mesma abordagem:
Simplificando:

Passo 5

Por último, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é .
Aplicando a regra da cadeia novamente:
Simplificando:

Resposta

Portanto, o gradiente de é:

Exercícios relacionados

Encontre os valores de e tais que a função abaixo é continua em todos os pontos:
a) Obtenha um fator integrante para a equação diferencial
Verifique se a função dada é diferenciável.
Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função para .