Considere a função
. Determine o gradiente de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa encontrar o gradiente dela. O gradiente é uma ferramenta da matemática que nos dá uma “seta” indicando a direção de maior crescimento da função. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais, que são as taxas de variação da função em relação a cada uma das variáveis
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que contém as derivadas parciais dessa função em relação a cada variável. Ou seja,
Então, nosso objetivo é calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, que é
.
A função é
. Podemos reescrever isso como
.
Aplicando a regra da cadeia para derivadas, temos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
.
Usando a mesma abordagem:
Simplificando:
Passo 5
Por último, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
.
Aplicando a regra da cadeia novamente:
Simplificando:
Resposta
Portanto, o gradiente de
é: