a) Obtenha um fator integrante para a equação diferencial

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na equação que você tem:
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem linear. Para resolver esse tipo de equação, a gente precisa encontrar um fator integrante. Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação e, eventualmente, resolver para .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos na nossa equação padrão:
Comparando com a nossa equação:
Vemos que:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o fator integrante . A fórmula para o fator integrante é:
Vamos substituir na fórmula:

Passo 4

Vamos fazer a integral dentro do expoente:
Onde é a constante de integração. Mas como estamos procurando apenas o fator integrante, podemos ignorar a constante.

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão do fator integrante:
Aqui, usamos a propriedade de que , e como está no denominador, simplificamos para .

Resposta

O fator integrante é:

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Enuncie o Teorema de Clairaut.
Equação Exata:
c) Resolva a
Encontre os valores de e tais que a função abaixo é continua em todos os pontos:
Considere a função . Determine o gradiente de .