Encontre os valores de e tais que a função abaixo é continua em todos os pontos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de e para que a função dada seja contínua em todos os pontos. Isso envolve entender conceitos de continuidade e trabalhar com limites. Vamos precisar analisar a função nos pontos onde ela muda de expressão, que são e .
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para . A função muda de uma expressão para outra aqui, então precisamos garantir que o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda seja igual ao valor da função em 2.
A expressão para é:
Podemos simplificar isso:
Então, o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o valor da função em usando a segunda expressão:
Para garantir a continuidade, igualamos o limite ao valor da função:
Podemos simplificar dividindo tudo por 2:
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Passo 4
Agora, vamos analisar em . Novamente, a função muda de expressão, então vamos igualar o limite quando se aproxima de 3 pela esquerda ao valor da função em 3.
A expressão para é:
Então, o limite quando se aproxima de 3 pela esquerda é:
A expressão para é:
Igualando os dois:
Podemos simplificar dividindo tudo por 2:
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Passo 5
Agora temos um sistema de equações:
çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a Equação 1 por 2: