Encontre os valores de c e d tais que a função abaixo é continua em todos os pontos:
f(x) = { (x^2 - 4) / (x - 2), x < 2; cx^2 + dx + 3, 2 <= x < 3; 2x - c - d, x >= 3 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de e para que a função dada seja contínua em todos os pontos. Isso envolve entender conceitos de continuidade e trabalhar com limites. Vamos precisar analisar a função nos pontos onde ela muda de expressão, que são e .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para . A função muda de uma expressão para outra aqui, então precisamos garantir que o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda seja igual ao valor da função em 2.
A expressão para é:
Podemos simplificar isso:
Então, o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor da função em usando a segunda expressão:
Para garantir a continuidade, igualamos o limite ao valor da função:
Podemos simplificar dividindo tudo por 2:
çã

Passo 4

Agora, vamos analisar em . Novamente, a função muda de expressão, então vamos igualar o limite quando se aproxima de 3 pela esquerda ao valor da função em 3.
A expressão para é:
Então, o limite quando se aproxima de 3 pela esquerda é:
A expressão para é:
Igualando os dois:
Podemos simplificar dividindo tudo por 2:
çã

Passo 5

Agora temos um sistema de equações:
çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a Equação 1 por 2:
Subtraindo isso da Equação 2:
Agora, substituindo na Equação 1:

Resposta

Os valores são e .

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