Verifique se a função dada é diferenciável.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos verificar se ela é diferenciável. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e condições de diferenciabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando uma das variáveis varia, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essas derivadas parciais são contínuas em algum ponto no domínio da função. A continuidade das derivadas parciais é uma condição suficiente para a diferenciabilidade da função nesse ponto.
Observando as derivadas parciais:
Podemos ver que ambas são polinômios em e , o que significa que são contínuas em todo o plano .

Passo 4

Como as derivadas parciais e são contínuas em todo o domínio da função, isso nos garante que a função é diferenciável em todos os pontos .

Resposta

A função é diferenciável em todos os pontos do seu domínio.

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