Considere a funçao
. (a) Encontre a direçào on
- thaior valor. Qual é o valor de a derivada direcional de
no ponto
assume
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com a função
. O que precisamos descobrir é duas coisas:
- Qual a direção na qual a função cresce mais rápido no ponto
. - Qual é o valor da derivada direcional dessa função nesse ponto nessa direção.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional. O gradiente nos dá a direção de crescimento mais rápido da função, e a derivada direcional nos diz a taxa de variação da função nessa direção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Calculando a derivada parcial em relação a
:
(since a função não depende de
)
Passo 4
Agora, avaliamos o gradiente no ponto
:
Portanto, o gradiente no ponto
é
.
Passo 5
A direção de maior crescimento da função no ponto
é exatamente na direção do gradiente nesse ponto. Então, a direção que a gente procura é o vetor gradiente
.
Passo 6
Agora, para encontrar o valor da derivada direcional nessa direção, usamos a fórmula:
Onde
é o vetor unitário na direção do gradiente. Primeiro, vamos encontrar o vetor unitário.
Primeiro, calculamos o módulo do gradiente:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 7
Agora, a derivada direcional na direção do gradiente é simplesmente o módulo do gradiente:
Isso porque o produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção do gradiente resulta no próprio módulo do gradiente.
Resposta
A direção de maior crescimento da função
no ponto
é dada pelo vetor gradiente
. O valor da derivada direcional nessa direção é
.
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, Ache a solução do problema de valor inicial
.
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