Considere a funçao . (a) Encontre a direçào on
  • thaior valor. Qual é o valor de a derivada direcional de no ponto assume

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com a função . O que precisamos descobrir é duas coisas:
  1. Qual a direção na qual a função cresce mais rápido no ponto .
  2. Qual é o valor da derivada direcional dessa função nesse ponto nessa direção.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional. O gradiente nos dá a direção de crescimento mais rápido da função, e a derivada direcional nos diz a taxa de variação da função nessa direção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
Calculando a derivada parcial em relação a :
Calculando a derivada parcial em relação a :
(since a função não depende de )

Passo 4

Agora, avaliamos o gradiente no ponto :
Portanto, o gradiente no ponto é .

Passo 5

A direção de maior crescimento da função no ponto é exatamente na direção do gradiente nesse ponto. Então, a direção que a gente procura é o vetor gradiente .

Passo 6

Agora, para encontrar o valor da derivada direcional nessa direção, usamos a fórmula:
Onde é o vetor unitário na direção do gradiente. Primeiro, vamos encontrar o vetor unitário.
Primeiro, calculamos o módulo do gradiente:
Então, o vetor unitário é:

Passo 7

Agora, a derivada direcional na direção do gradiente é simplesmente o módulo do gradiente:
Isso porque o produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção do gradiente resulta no próprio módulo do gradiente.

Resposta

A direção de maior crescimento da função no ponto é dada pelo vetor gradiente . O valor da derivada direcional nessa direção é .

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