Use o resultado de Euler para encontrar a soma da série.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a soma da série infinita . Para isso, vamos usar o resultado de Euler, que está relacionado à função zeta de Riemann. Vamos precisar entender um pouquinho sobre séries infinitas e a função zeta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. A série dada é . Podemos reescrever isso como:
Aqui, puxamos o para fora da soma porque ele é uma constante.

Passo 3

Agora, precisamos lembrar do que é a função zeta de Riemann, que é definida como:
No nosso caso, , então temos:

Passo 4

O resultado famoso de Euler para é:
Isso é uma beleza porque conecta a série infinita com o número !

Passo 5

Agora, substituímos de volta na nossa expressão:
Calculando :
Então:

Passo 6

Vamos simplificar essa fração:
Portanto:

Resposta

A soma da série é .

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