Use o resultado de Euler para encontrar a soma da série.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a soma da série infinita
. Para isso, vamos usar o resultado de Euler, que está relacionado à função zeta de Riemann. Vamos precisar entender um pouquinho sobre séries infinitas e a função zeta.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. A série dada é
. Podemos reescrever isso como:
Aqui, puxamos o
para fora da soma porque ele é uma constante.
Passo 3
Agora, precisamos lembrar do que é a função zeta de Riemann, que é definida como:
No nosso caso,
, então temos:
Passo 4
O resultado famoso de Euler para
é:
Isso é uma beleza porque conecta a série infinita com o número
!
Passo 5
Agora, substituímos
de volta na nossa expressão:
Calculando
:
Então:
Passo 6
Vamos simplificar essa fração:
Portanto:
Resposta
A soma da série é
.