Encontre as trajetórias ortogonais das curvas dadas
no sistema polar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as trajetórias ortogonais das curvas que são dadas por
no sistema polar. Isso quer dizer que vamos achar um conjunto de curvas que cortam as curvas originais formando um ângulo de 90 graus. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e geometria no sistema polar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação dada:
. Aqui,
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo em radianos.
é uma constante que define cada curva da família. Nosso objetivo é encontrar uma nova família de curvas que seja ortogonal a essas.
Passo 3
Para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos primeiro encontrar a derivada da equação dada em relação a
. Vamos derivar ambos os lados da equação
em relação a
.
Derivando:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a inclinação da tangente às curvas originais. No sistema polar, a relação entre as derivadas é:
Substituindo
e
na equação acima, obtemos:
Simplificando:
Continuando a simplificação, vemos que isso se reduz a uma expressão mais simples, que nos dá a inclinação das curvas originais.
Passo 5
As trajetórias ortogonais terão inclinação negativa recíproca em relação às curvas originais. Então, se
é a inclinação das curvas originais, a inclinação das ortogonais será
.
Vamos chamar a inclinação das ortogonais de
:
Substituindo a expressão que encontramos para
, teremos a equação diferencial que descreve as trajetórias ortogonais.
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação diferencial obtida para encontrar a expressão das trajetórias ortogonais. Isso envolve separar as variáveis e integrar ambos os lados para encontrar
em função de
para as curvas ortogonais.
Após realizar os cálculos de integração, chegamos à expressão geral das trajetórias ortogonais.
Resposta
As trajetórias ortogonais das curvas dadas por
no sistema polar são dadas por:
onde
é uma constante de integração.
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.
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