Determine se a série é convergente ou divergente
sumn=1^infty 1n^2+n^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar se a série é convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Comparação, que nos ajuda a comparar a série em questão com outra série que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
1n^2 + n^3 = 1n^2(1 + n) = 1n^3 + n^2
Para facilitar a comparação, observamos que para 1n^3 + n^2 approx 1n^3 , domina , então podemos aproximar:

Passo 3

Agora, vamos comparar com a série . Essa é uma série p, onde . Sabemos que uma série p converge se . Como , a série converge.

Passo 4

De volta à nossa série original, já vimos que:
1n^3 + n^2 <= 1n^3
Como converge e todos os termos da nossa série são menores ou iguais a essa, pelo Teste da Comparação, nossa série também converge.

Resposta

A série é convergente.

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