Dada equação de Bernoulli d y/d x + y + x y^2 = 0, Ache a solução do problema de valor inicial y(0) = 1.

Passo 1

Então, a gente tem a equação de Bernoulli e a condição inicial y(0) = 1. Vamos resolver essa equação usando conceitos de cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação de Bernoulli. É uma equação diferencial do tipo , onde n é um número real. No nosso caso, , e . Para resolver, vamos fazer uma substituição que transforma essa equação em uma equação linear.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Como , temos . Agora, vamos encontrar em termos de :

Passo 4

Substituímos na equação original:
Multiplicando ambos os lados por :
Mas , então:
E como , a equação fica:

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em v:
Para resolver, encontramos o fator integrante. O fator integrante mu(x) é dado por:

Passo 6

Multiplicamos a equação inteira pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Agora, integramos ambos os lados:
A integração por partes nos dá:

Passo 7

Então, temos:
Lembrando que , então:
Agora, aplicamos a condição inicial y(0) = 1:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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