Dada equação de Bernoulli
, Ache a solução do problema de valor inicial
.
Passo 1
Então, a gente tem a equação de Bernoulli
e a condição inicial
. Vamos resolver essa equação usando conceitos de cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação de Bernoulli. É uma equação diferencial do tipo
, onde
é um número real. No nosso caso,
,
e
. Para resolver, vamos fazer uma substituição que transforma essa equação em uma equação linear.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
. Como
, temos
. Agora, vamos encontrar
em termos de
:
Passo 4
Substituímos
na equação original:
Multiplicando ambos os lados por
:
Mas
, então:
E como
, a equação fica:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear em
:
Para resolver, encontramos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 6
Multiplicamos a equação inteira pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Agora, integramos ambos os lados:
A integração por partes nos dá:
Passo 7
Então, temos:
Lembrando que
, então:
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: