Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(f)
R.:
(f)
R.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace inversa juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa da função
. Para isso, vamos usar técnicas de frações parciais e propriedades das transformadas de Laplace. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração
em frações parciais. Isso ajuda a simplificar a expressão para que possamos aplicar a transformada inversa mais facilmente. A forma geral dessa decomposição será:
Passo 3
Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Para encontrar os valores de
e
, vamos escolher valores estratégicos de
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora, expandimos a equação original e igualamos os coeficientes de potências iguais de
:
Expandindo o lado direito:
Somando tudo:
Igualando aos termos do lado esquerdo
, temos:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
(já encontramos)
Passo 6
Sabemos que
e
. Vamos substituir
na equação
:
Agora, usando
:
Substituindo
na equação
:
Passo 7
Com os valores encontrados, nossa decomposição fica:
Passo 8
Agora, aplicamos a transformada inversa em cada termo separado: