Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(f) L^{-1}((2 s - 1)/(s^{2}(s + 1)^{3}))
R.: -t - 5 * e^(-t) - 4 * t * e^(-t) - (3 * t^2 * e^(-t)) / 2 + 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace inversa juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa da função . Para isso, vamos usar técnicas de frações parciais e propriedades das transformadas de Laplace. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Isso ajuda a simplificar a expressão para que possamos aplicar a transformada inversa mais facilmente. A forma geral dessa decomposição será:

Passo 3

Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Para encontrar os valores de e , vamos escolher valores estratégicos de :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora, expandimos a equação original e igualamos os coeficientes de potências iguais de :
Expandindo o lado direito:
Somando tudo:
Igualando aos termos do lado esquerdo , temos:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Termo constante: (já encontramos)

Passo 6

Sabemos que e . Vamos substituir na equação :
Agora, usando :
Substituindo na equação :

Passo 7

Com os valores encontrados, nossa decomposição fica:

Passo 8

Agora, aplicamos a transformada inversa em cada termo separado:

Resposta

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