Considere a função e o ponto do domínio de . Encontre a taxa de variação de no ponto na direção e sentido do vetor .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício quer. A gente tem uma função de três variáveis: . Queremos descobrir qual é a taxa de variação dessa função no ponto na direção e sentido do vetor .
Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada direcional. A derivada direcional nos diz como a função está mudando em uma direção específica. Para calcular isso, vamos precisar:
  1. Encontrar o gradiente da função no ponto .
  2. Obter uma unidade do vetor direção .
  3. Calcular o produto escalar entre o gradiente e a unidade vetor, que nos dará a taxa de variação desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. Ou seja, vamos calcular , e .
Vamos lá:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto .
Substituindo , e :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 4

Agora, precisamos transformar o vetor em uma unidade. Isso significa que o vetor terá comprimento 1, mantendo a mesma direção.
Primeiro, calculamos o comprimento (norma) de :
Então, a unidade do vetor é:

Passo 5

Finalmente, para encontrar a taxa de variação da função na direção de no ponto , fazemos o produto escalar entre o gradiente e a unidade vetor :
Calculando o produto escalar:

Resposta

A taxa de variação de no ponto na direção e sentido do vetor é igual a -4.

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(a)
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