Considere a função e o ponto do domínio de . Encontre a taxa de variação de no ponto na direção e sentido do vetor .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício quer. A gente tem uma função de três variáveis: . Queremos descobrir qual é a taxa de variação dessa função no ponto na direção e sentido do vetor .
Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada direcional. A derivada direcional nos diz como a função está mudando em uma direção específica. Para calcular isso, vamos precisar:
Encontrar o gradiente da função no ponto .
Obter uma unidade do vetor direção.
Calcular o produto escalar entre o gradiente e a unidade vetor, que nos dará a taxa de variação desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. Ou seja, vamos calcular , e .
Vamos lá:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto .
Substituindo , e :
Então, o gradiente no ponto é:
Passo 4
Agora, precisamos transformar o vetor em uma unidade. Isso significa que o vetor terá comprimento 1, mantendo a mesma direção.
Primeiro, calculamos o comprimento (norma) de :
Então, a unidade do vetor é:
Passo 5
Finalmente, para encontrar a taxa de variação da função na direção de no ponto , fazemos o produto escalar entre o gradiente e a unidade vetor :
Calculando o produto escalar:
Resposta
A taxa de variação de no ponto na direção e sentido do vetor é igual a -4.