Nos exercícios de 33 a 36, use a definição de área como somatório, tomando
como extremo direito, como extremo esquerdo e por fim como ponto médio de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva
acima do intervalo especificado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a área sob a curva
no intervalo de
. Vamos usar a definição de área como um somatório, ou seja, somando áreas de retângulos que se aproximam da área real. Para isso, vamos precisar entender sobre somatórios de Riemann e como escolher os pontos de amostragem: extremo direito, extremo esquerdo e ponto médio de cada subintervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o intervalo
em
subintervalos iguais. O tamanho de cada subintervalo, representado por
, é calculado assim:
Onde
e
são os limites do intervalo.
Passo 3
Agora, precisamos determinar os pontos amostrais
que vamos usar para calcular a altura dos retângulos. Dependendo de como escolhemos esses pontos, teremos diferentes somatórios de Riemann:
- Extremo Esquerdo:
- Extremo Direito:
- Ponto Médio:
Passo 4
Vamos montar o somatório para cada caso e, em seguida, calcular o limite quando
tende ao infinito para encontrar a área exata.
- Somatório com Extremo Esquerdo:
- Somatório com Extremo Direito:
- Somatório com Ponto Médio:
Resposta
Após resolver os somatórios e calcular os limites, encontramos que a área exata sob a curva
no intervalo
é:
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Considere uma pirâmide de base retangular, sabendo que o volume da pirâmide é
, onde
é a área da base e
é a altura da pirâmide. Sejam
o comprimento e
a largura da base da pirâmide.
© Suponha que e
mas que
varie. Determine a taxa de variação de
em relação a
no ponto onde
.
© Suponha que
Considere a função
e o ponto
do domínio de
. Encontre a taxa de variação de
no ponto
na direção e sentido do vetor
.
Uma partícula move-se ao longo do eixo
. Use a informação dada para encontrar sua função posição.
(a)
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