Nos exercícios de 33 a 36, use a definição de área como somatório, tomando x_k* como extremo direito, como extremo esquerdo e por fim como ponto médio de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f(x) acima do intervalo especificado.
f(x) = 5 - x ; [1, 5]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a área sob a curva no intervalo de . Vamos usar a definição de área como um somatório, ou seja, somando áreas de retângulos que se aproximam da área real. Para isso, vamos precisar entender sobre somatórios de Riemann e como escolher os pontos de amostragem: extremo direito, extremo esquerdo e ponto médio de cada subintervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo em subintervalos iguais. O tamanho de cada subintervalo, representado por , é calculado assim:
Onde e são os limites do intervalo.

Passo 3

Agora, precisamos determinar os pontos amostrais que vamos usar para calcular a altura dos retângulos. Dependendo de como escolhemos esses pontos, teremos diferentes somatórios de Riemann:
  • Extremo Esquerdo:
  • Extremo Direito:
  • Ponto Médio:

Passo 4

Vamos montar o somatório para cada caso e, em seguida, calcular o limite quando tende ao infinito para encontrar a área exata.
  1. Somatório com Extremo Esquerdo:
  1. Somatório com Extremo Direito:
  1. Somatório com Ponto Médio:
é

Resposta

Após resolver os somatórios e calcular os limites, encontramos que a área exata sob a curva no intervalo é:

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