Encontre o volume dos seguintes sólidos usando integrais triplas:
b) O sólido limitado por baixo pelo cone e por cima pela esfera
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido que está limitado por baixo por um cone dado pela equação e por cima por uma esfera com a equação . Para isso, vamos usar integrais triplas, que nos ajudam a calcular volumes de formas mais complicadas. Vamos precisar usar coordenadas cilíndricas porque elas facilitam bastante quando lidamos com cones e esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde o cone e a esfera se encontram. Isso vai nos dar os limites de integração. Igualando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Então, no ponto de interseção, temos e .
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
Nessa mudança, o volume em coordenadas cilíndricas é dado por:
Passo 4
Vamos definir os limites de integração:
varia de a porque o sólido é simétrico em volta do eixo .
varia de a , que é o raio onde o cone e a esfera se encontram.
varia de (a base do cone) até (a parte superior da esfera).