Encontre o volume dos seguintes sólidos usando integrais triplas:
b) O sólido limitado por baixo pelo cone e por cima pela esfera

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido que está limitado por baixo por um cone dado pela equação e por cima por uma esfera com a equação . Para isso, vamos usar integrais triplas, que nos ajudam a calcular volumes de formas mais complicadas. Vamos precisar usar coordenadas cilíndricas porque elas facilitam bastante quando lidamos com cones e esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde o cone e a esfera se encontram. Isso vai nos dar os limites de integração. Igualando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Então, no ponto de interseção, temos e .

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
Nessa mudança, o volume em coordenadas cilíndricas é dado por:

Passo 4

Vamos definir os limites de integração:
  • varia de a porque o sólido é simétrico em volta do eixo .
  • varia de a , que é o raio onde o cone e a esfera se encontram.
  • varia de (a base do cone) até (a parte superior da esfera).

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla para o volume:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos separar a integral em duas partes:
Calculando cada integral interna:
  1. Para , usamos substituição:
    • Seja , então
    • A integral se torna
    • Integramos:
  2. Para :
    • Integramos diretamente:

Passo 8

Substituindo de volta na integral principal:

Passo 9

Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Considere uma pirâmide de base retangular, sabendo que o volume da pirâmide é , onde é a área da base e é a altura da pirâmide. Sejam o comprimento e a largura da base da pirâmide.
© Suponha que e mas que varie. Determine a taxa de variação de em relação a no ponto onde .
Encontre o volume dos seguintes sólidos usando integrais triplas:
c) O sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e .
Nos exercícios de 33 a 36, use a definição de área como somatório, tomando como extremo direito, como extremo esquerdo e por fim como ponto médio de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva acima do intervalo especificado.
Considere a função e o ponto do domínio de . Encontre a taxa de variação de no ponto na direção e sentido do vetor .