Considere a função . Se a derivada de , no ponto , vale , pode-se deduzir que:
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e sabemos que a derivada dessa função no ponto é igual a . Nosso objetivo é descobrir qual é o valor de que satisfaz essa condição. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas, especificamente a regra da cadeia e a regra do quociente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de . A função é composta por uma exponencial, então vamos aplicar a regra da cadeia. Se temos , onde , a derivada de em relação a é:
Passo 3
Agora, precisamos calcular , que é a derivada de . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que se , então:
Aqui, e . As derivadas são e . Aplicando a regra:
Passo 4
Substituindo na expressão da derivada de :
Passo 5
Agora, vamos avaliar a derivada no ponto :
Simplificando:
Passo 6
Sabemos que . Então, igualando as duas expressões:
Podemos cancelar dos dois lados (desde que ):
Passo 7
Como as exponenciais são iguais, os expoentes também devem ser iguais:
Que dá:
Passo 8
Resolvendo a equação quadrática , usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e :
Então, as soluções são:
Passo 9
Analisando as opções disponíveis:
a)
b)
c)
d)
A única opção que corresponde a uma das soluções é a letra c) .