Considere a função
. Se a derivada de
, no ponto
, vale
, pode-se deduzir que:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e sabemos que a derivada dessa função no ponto
é igual a
. Nosso objetivo é descobrir qual é o valor de
que satisfaz essa condição. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas, especificamente a regra da cadeia e a regra do quociente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
. A função é composta por uma exponencial, então vamos aplicar a regra da cadeia. Se temos
, onde
, a derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, precisamos calcular
, que é a derivada de
. Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que se
, então:
Aqui,
e
. As derivadas são
e
. Aplicando a regra:
Passo 4
Substituindo
na expressão da derivada de
:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a derivada no ponto
:
Simplificando:
Passo 6
Sabemos que
. Então, igualando as duas expressões:
Podemos cancelar
dos dois lados (desde que
):
Passo 7
Como as exponenciais são iguais, os expoentes também devem ser iguais:
Que dá:
Passo 8
Resolvendo a equação quadrática
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
:
Então, as soluções são:
Passo 9
Analisando as opções disponíveis:
a)
b)
c)
d)
A única opção que corresponde a uma das soluções é a letra c)
.
Resposta
c)