Considere a função f(z) = e^(A z / (z - A)). Se a derivada de f, no ponto z = A + 1, vale -A^2 e^6, pode-se deduzir que:
a) A = -2
b) A=1
c) A=2
d) A=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e sabemos que a derivada dessa função no ponto é igual a . Nosso objetivo é descobrir qual é o valor de que satisfaz essa condição. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas, especificamente a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de . A função é composta por uma exponencial, então vamos aplicar a regra da cadeia. Se temos , onde , a derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, precisamos calcular , que é a derivada de . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que se , então:
Aqui, e . As derivadas são e . Aplicando a regra:

Passo 4

Substituindo na expressão da derivada de :

Passo 5

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto :
Simplificando:

Passo 6

Sabemos que . Então, igualando as duas expressões:
Podemos cancelar dos dois lados (desde que ):

Passo 7

Como as exponenciais são iguais, os expoentes também devem ser iguais:
Que dá:

Passo 8

Resolvendo a equação quadrática , usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e :
Então, as soluções são:

Passo 9

Analisando as opções disponíveis:
a)
b)
c)
d)
A única opção que corresponde a uma das soluções é a letra c) .

Resposta

c)

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