Considere a função f: Z5 times Z9 Z5 times Z9 tal que f(barx, bary)=(2 x+3, 4 y+5). Verifique se f possui inversa e em caso afirmativo, encontre sua inversa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre funções que trabalham com restos da divisão, ou seja, aritmética modular. A função está mapeando pares de números de para dessa forma: . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa função tem uma inversa, ou seja, se dá pra “desfazer” o que ela faz, e se sim, encontrar essa inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ter uma inversa. Em termos simples, uma função tem uma inversa se cada saída de vem de exatamente uma entrada. Isso garante que podemos voltar de onde viemos. No contexto de funções entre conjuntos finitos como , se a função for bijetora (ou seja, injetora e sobrejetora), ela terá uma inversa.

Passo 3

Vamos analisar a função componente por componente. A função está dividida em duas partes:
  1. em
  2. em
Se conseguirmos encontrar inversas para e individualmente, então a função como um todo terá uma inversa.

Passo 4

Vamos começar com 2x + 3 = a em 2x equiv a - 3 mod 5 . Queremos achar uma função que, quando aplicada a x equiv 3(a - 3) mod 5 , retorne x equiv 3a - 9 mod 5 . Para isso, precisamos encontrar -9 equiv 1 mod 5 em termos de x equiv 3a + 1 mod 5 .
Rearranjando a equação:
f1^-1(a) = 3a + 1
Queremos resolver para :
Para isolar , precisamos multiplicar ambos os lados pelo inverso de 2 em .
Sabemos que o inverso de 2 em é 3, porque .
Então:
Simplificando :
Então:
Portanto, a inversa de é:

Passo 5

Agora, vamos para 4y + 5 = b em 4y equiv b - 5 mod 9 . Assim como antes, queremos encontrar uma função que retorne 4 times 7 = 28 equiv 1 mod 9 em termos de y equiv 7(b - 5) mod 9 .
Rearranjando a equação:
y equiv 7b - 35 mod 9
Resolvendo para -35 equiv 1 mod 9 :
y equiv 7b + 1 mod 9
Para isolar f2^-1(b) = 7b + 1 , precisamos multiplicar ambos os lados pelo inverso de 4 em .
Vamos encontrar o inverso de 4 em . Procuramos um número tal que :
Então, o inverso de 4 em é 7.
Multiplicando ambos os lados por 7:
Simplificando :
Então:
Portanto, a inversa de é:

Resposta

Sim, a função f^-1(a, b) = ( 3a + 1, 7b + 1 ) possui inversa, que é dada por:

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