Verifique que os vetores formam uma base para . Determine as coordenadas do vetor nesta base.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional:
A questão quer saber se esses três vetores formam uma base para . Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Além disso, precisamos determinar as coordenadas do vetor nessa base.
Para resolver isso, vamos precisar entender de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores , e são linearmente independentes. Isso significa que não existe uma combinação linear desses vetores que resulte no vetor zero, exceto se todos os coeficientes forem zero.
Para isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas:
Calcularemos o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.
Passo 3
Vamos calcular o determinante da matriz:
det = 2 times 1 & 1 -1 & -2 - (-1) times 1 & 1 -2 & -2 + (-1) times 1 & 1 -2 & -1
Calculando cada menor:
1 & 1 -1 & -2 = (1)(-2) - (1)(-1) = -2 + 1 = -1
1 & 1 -2 & -2 = (1)(-2) - (1)(-2) = -2 + 2 = 0
1 & 1 -2 & -1 = (1)(-1) - (1)(-2) = -1 + 2 = 1
Agora, substituindo de volta:
det = 2 times (-1) - (-1) times 0 + (-1) times 1 = -2 + 0 -1 = -3
Passo 4
Como o determinante é -3, que é diferente de zero, os vetores u, v e w são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para R^3.
Agora, precisamos encontrar as coordenadas do vetor d = i - 3j + 5k nessa base. Isso significa encontrar escalares a, b e c tais que: