Seja f: Z Z12 dada por f(x)=4 x+3.
Obter f^-1(0, 2, 7, 10).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por . Queremos encontrar todos os números inteiros que, quando passados por essa função, resultam em um dos elementos do conjunto em .
Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações congruentes e trabalhar com funções inversas em aritmética modular.

Passo 2

Vamos interpretar o que significa encontrar f(x) = 4x + 3 in 0, 2, 7, 10 . Isso significa que queremos todos os inteiros 4x + 3 equiv y pmod12 tais que:
Ou seja, precisamos resolver a seguinte equação modular para cada elemento do conjunto:
onde .

Passo 3

Vamos resolver a equação 4x + 3 equiv 0 pmod12 Rightarrow 4x equiv -3 pmod12 Rightarrow 4x equiv 9 pmod12 para cada valor de 4x + 3 equiv 2 pmod12 Rightarrow 4x equiv -1 pmod12 Rightarrow 4x equiv 11 pmod12 :
  1. Para 4x + 3 equiv 7 pmod12 Rightarrow 4x equiv 4 pmod12 :
    x equiv 1 pmod3
    Agora, precisamos resolver 4x + 3 equiv 10 pmod12 Rightarrow 4x equiv 7 pmod12 . Sabemos que o máximo divisor comum (MDC) entre 4 e 12 é 4. Para que a equação tenha solução, 4 deve dividir 9, o que não acontece. Portanto, não há solução para .
  2. Para :
    Novamente, verificamos se 4 divide 11. Como 4 não divide 11, não há solução para .
  3. Para :
    Aqui, o MDC de 4 e 12 é 4, que divide 4. Portanto, a equação tem solução. Dividindo todos os termos por 4:
    Isso significa que todas as soluções são números inteiros da forma , onde é um inteiro.
  4. Para :
    Verificamos se 4 divide 7. Como não divide, não há solução para .

Resposta

Assim, o conjunto x equiv 1 pmod3 consiste em todos os inteiros tal que:
Ou seja, todas as soluções são da forma , onde é um número inteiro.

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