Verifique se os vetores u=2 i+3 j-2 k, v=i+j-k e w=-3 i+j-2 k são li.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede pra verificar se os vetores , e são linearmente independentes (li) ou não. Esse assunto faz parte da matéria de Álgebra Linear. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender o conceito de combinação linear e usar determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Três vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que dá o vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se só tiver a solução , então os vetores são li.

Passo 3

Pra verificar isso de forma mais prática, a gente pode montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Se for zero, são linearmente dependentes.

Passo 4

Vamos montar a matriz A = 2 & 1 & -3 3 & 1 & 1 -2 & -1 & -2 com os vetores , e como colunas:

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 é dado por:
det(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
Aplicando isso na nossa matriz:
det(A) = 2(1 cdot (-2) - 1 cdot (-1)) - 1(3 cdot (-2) - 1 cdot (-1)) + (-3)(3 cdot (-1) - 1 cdot (-2))
Vamos calcular passo a passo:
  1. Primeiro termo:
2[(1 cdot (-2)) - (1 cdot (-1))] = 2[-2 + 1] = 2[-1] = -2
  1. Segundo termo:
-1[(3 cdot (-2)) - (1 cdot (-1))] = -1[-6 + 1] = -1[-5] = 5
  1. Terceiro termo:
-3[(3 cdot (-1)) - (1 cdot (-2))] = -3[-3 + 2] = -3[-1] = 3
Somando tudo:
-2 + 5 + 3 = 6

Passo 6

O determinante da matriz é 6, que é diferente de zero.

Resposta

Os vetores , e são linearmente independentes.

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