Considere a função
dada por
Determine
para que
seja diferenciável em
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede e identificar as ferramentas que vamos usar. Temos uma função definida por partes:
A pergunta é para determinar o valor de
que faz com que a função
seja diferenciável em
. Para isso, precisamos garantir duas coisas:
- Continuidade em
: a função não pode ter “saltos” nesse ponto. - Derivadas laterais iguais em
: a inclinação da função pelo lado esquerdo deve ser igual à do lado direito.
Vamos usar conceitos de cálculo diferencial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos assegurar que a função é contínua em
. Isso significa que o limite de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em
.
Calculando o limite pela esquerda (
):
Calculando o limite pela direita (
):
Para a continuidade, temos:
Resolvendo para
:
Passo 3
Agora que sabemos que
garante a continuidade, precisamos verificar a diferenciabilidade em
. Isso exige que as derivadas da função pelo lado esquerdo e direito em
sejam iguais.
Vamos calcular a derivada de cada parte da função.
Para
:
Então, a derivada pelo lado esquerdo em
é:
Para
(com
):
Então, a derivada pelo lado direito em
é:
Como
, a função é diferenciável em
.
Resposta
O valor de
que torna
diferenciável em
é
.
Exercícios relacionados
Use o Teorema do Confronto (Sanduiche) para resolver os itens abaixo: Seja
uma função tal que, para todo
, vale
Calcule
.
Determine
e
.
(a)
(a)
Utilize o limite fundamental,
, para calcular os limites abaixo:
.
Nos itens abaixo, verifique se para o valor de a indicado, existe o limite da função dada.
.