Considere a função dada por
Determine para que seja diferenciável em .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede e identificar as ferramentas que vamos usar. Temos uma função definida por partes:
A pergunta é para determinar o valor de que faz com que a função seja diferenciável em . Para isso, precisamos garantir duas coisas:
  1. Continuidade em : a função não pode ter “saltos” nesse ponto.
  2. Derivadas laterais iguais em : a inclinação da função pelo lado esquerdo deve ser igual à do lado direito.
Vamos usar conceitos de cálculo diferencial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos assegurar que a função é contínua em . Isso significa que o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .
Calculando o limite pela esquerda ( ):
Calculando o limite pela direita ( ):
Para a continuidade, temos:
Resolvendo para :

Passo 3

Agora que sabemos que garante a continuidade, precisamos verificar a diferenciabilidade em . Isso exige que as derivadas da função pelo lado esquerdo e direito em sejam iguais.
Vamos calcular a derivada de cada parte da função.
Para :
Então, a derivada pelo lado esquerdo em é:
Para (com ):
Então, a derivada pelo lado direito em é:
Como , a função é diferenciável em .

Resposta

O valor de que torna diferenciável em é .

Exercícios relacionados

Use o Teorema do Confronto (Sanduiche) para resolver os itens abaixo: Seja uma função tal que, para todo , vale
Calcule .
Determine e .
(a)
Utilize o limite fundamental, , para calcular os limites abaixo: .
Nos itens abaixo, verifique se para o valor de a indicado, existe o limite da função dada. .